Datrys {l}{3x-8y=-13}{5y+2x=-19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 8 y = - 13 } \\ { 5 y + 2 x = - 19 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-7$$

$$y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-8y=-13,2x+5y=-19$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-8y=-13$$

Adio 8y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=8y-13$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(8y-13\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 8y-13.

$$x=\frac{8}{3}y-\frac{13}{3}$$

Amnewid \frac{8y-13}{3} am x yn yr hafaliad arall, 2x+5y=-19.

$$2\left(\frac{8}{3}y-\frac{13}{3}\right)+5y=-19$$

Lluoswch 2 â \frac{8y-13}{3}.

$$\frac{16}{3}y-\frac{26}{3}+5y=-19$$

Adio \frac{16y}{3} at 5y.

$$\frac{31}{3}y-\frac{26}{3}=-19$$

Adio \frac{26}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{31}{3}y=-\frac{31}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{31}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am y yn x=\frac{8}{3}y-\frac{13}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{8}{3}\left(-1\right)-\frac{13}{3}$$

Lluoswch \frac{8}{3} â -1.

$$x=\frac{-8-13}{3}$$

Adio -\frac{13}{3} at -\frac{8}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-7,y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-8y=-13,2x+5y=-19$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-8\times 2\right)}&-\frac{-8}{3\times 5-\left(-8\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-8\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-8\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{8}{31}\\-\frac{2}{31}&\frac{3}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\left(-13\right)+\frac{8}{31}\left(-19\right)\\-\frac{2}{31}\left(-13\right)+\frac{3}{31}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-7,y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-8y=-13,2x+5y=-19$$

I wneud 3x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$2\times 3x+2\left(-8\right)y=2\left(-13\right),3\times 2x+3\times 5y=3\left(-19\right)$$

Symleiddio.

$$6x-16y=-26,6x+15y=-57$$

Tynnwch 6x+15y=-57 o 6x-16y=-26 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x-16y-15y=-26+57$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-16y-15y=-26+57$$

Adio -16y at -15y.

$$-31y=-26+57$$

Adio -26 at 57.

$$-31y=31$$

Rhannu’r ddwy ochr â -31.

$$y=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am y yn 2x+5y=-19. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+5\left(-1\right)=-19$$

Lluoswch 5 â -1.

$$2x-5=-19$$

Adio 5 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-14$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=-7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-7,y=-1$$