Datrys {l}{3x-7y=24}{6x+3y=99}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 7 y = 24 } \\ { 6 x + 3 y = 99 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=15$$

$$y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-7y=24,6x+3y=99$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-7y=24$$

Adio 7y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=7y+24$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(7y+24\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 7y+24.

$$x=\frac{7}{3}y+8$$

Amnewid \frac{7y}{3}+8 am x yn yr hafaliad arall, 6x+3y=99.

$$6\left(\frac{7}{3}y+8\right)+3y=99$$

Lluoswch 6 â \frac{7y}{3}+8.

$$14y+48+3y=99$$

Adio 14y at 3y.

$$17y+48=99$$

Tynnu 48 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$17y=51$$

Rhannu’r ddwy ochr â 17.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn x=\frac{7}{3}y+8. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{7}{3}\times 3+8$$

Lluoswch \frac{7}{3} â 3.

$$x=7+8$$

Adio 8 at 7.

$$x=15$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=15,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-7y=24,6x+3y=99$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-7\times 6\right)}&-\frac{-7}{3\times 3-\left(-7\times 6\right)}\\-\frac{6}{3\times 3-\left(-7\times 6\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-7\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{7}{51}\\-\frac{2}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 24+\frac{7}{51}\times 99\\-\frac{2}{17}\times 24+\frac{1}{17}\times 99\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=15,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-7y=24,6x+3y=99$$

I wneud 3x a 6x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 6 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$6\times 3x+6\left(-7\right)y=6\times 24,3\times 6x+3\times 3y=3\times 99$$

Symleiddio.

$$18x-42y=144,18x+9y=297$$

Tynnwch 18x+9y=297 o 18x-42y=144 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$18x-18x-42y-9y=144-297$$

Adio 18x at -18x. Mae'r termau 18x a -18x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-42y-9y=144-297$$

Adio -42y at -9y.

$$-51y=144-297$$

Adio 144 at -297.

$$-51y=-153$$

Rhannu’r ddwy ochr â -51.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn 6x+3y=99. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$6x+3\times 3=99$$

Lluoswch 3 â 3.

$$6x+9=99$$

Tynnu 9 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$6x=90$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$x=15$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=15,y=3$$