Datrys {l}{3x-7y=-27}{6x-5y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 7 y = - 27 } \\ { 6 x - 5 y = 0 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=5$$

$$y=6$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-7y=-27,6x-5y=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-7y=-27$$

Adio 7y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=7y-27$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(7y-27\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 7y-27.

$$x=\frac{7}{3}y-9$$

Amnewid \frac{7y}{3}-9 am x yn yr hafaliad arall, 6x-5y=0.

$$6\left(\frac{7}{3}y-9\right)-5y=0$$

Lluoswch 6 â \frac{7y}{3}-9.

$$14y-54-5y=0$$

Adio 14y at -5y.

$$9y-54=0$$

Adio 54 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$9y=54$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$y=6$$

Cyfnewidiwch 6 am y yn x=\frac{7}{3}y-9. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{7}{3}\times 6-9$$

Lluoswch \frac{7}{3} â 6.

$$x=14-9$$

Adio -9 at 14.

$$x=5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=5,y=6$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-7y=-27,6x-5y=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-27\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-7\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\0\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\0\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-\left(-7\times 6\right)}&-\frac{-7}{3\left(-5\right)-\left(-7\times 6\right)}\\-\frac{6}{3\left(-5\right)-\left(-7\times 6\right)}&\frac{3}{3\left(-5\right)-\left(-7\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\0\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{27}&\frac{7}{27}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\0\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{27}\left(-27\right)\\-\frac{2}{9}\left(-27\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=5,y=6$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-7y=-27,6x-5y=0$$

I wneud 3x a 6x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 6 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$6\times 3x+6\left(-7\right)y=6\left(-27\right),3\times 6x+3\left(-5\right)y=0$$

Symleiddio.

$$18x-42y=-162,18x-15y=0$$

Tynnwch 18x-15y=0 o 18x-42y=-162 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$18x-18x-42y+15y=-162$$

Adio 18x at -18x. Mae'r termau 18x a -18x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-42y+15y=-162$$

Adio -42y at 15y.

$$-27y=-162$$

Rhannu’r ddwy ochr â -27.

$$y=6$$

Cyfnewidiwch 6 am y yn 6x-5y=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$6x-5\times 6=0$$

Lluoswch -5 â 6.

$$6x-30=0$$

Adio 30 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$6x=30$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$x=5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=5,y=6$$