Datrys {l}{3x-5y=7}{4x+2y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 7 } \\ { 4 x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-5y=7,4x+2y=5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-5y=7$$

Adio 5y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=5y+7$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+7\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 5y+7.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}$$

Amnewid \frac{5y+7}{3} am x yn yr hafaliad arall, 4x+2y=5.

$$4\left(\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}\right)+2y=5$$

Lluoswch 4 â \frac{5y+7}{3}.

$$\frac{20}{3}y+\frac{28}{3}+2y=5$$

Adio \frac{20y}{3} at 2y.

$$\frac{26}{3}y+\frac{28}{3}=5$$

Tynnu \frac{28}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{26}{3}y=-\frac{13}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{26}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Cyfnewidiwch -\frac{1}{2} am y yn x=\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{7}{3}$$

Lluoswch \frac{5}{3} â -\frac{1}{2} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{5}{6}+\frac{7}{3}$$

Adio \frac{7}{3} at -\frac{5}{6} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{3}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{1}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-5y=7,4x+2y=5$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{2}{13}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 7+\frac{5}{26}\times 5\\-\frac{2}{13}\times 7+\frac{3}{26}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{1}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-5y=7,4x+2y=5$$

I wneud 3x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$4\times 3x+4\left(-5\right)y=4\times 7,3\times 4x+3\times 2y=3\times 5$$

Symleiddio.

$$12x-20y=28,12x+6y=15$$

Tynnwch 12x+6y=15 o 12x-20y=28 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12x-12x-20y-6y=28-15$$

Adio 12x at -12x. Mae'r termau 12x a -12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-20y-6y=28-15$$

Adio -20y at -6y.

$$-26y=28-15$$

Adio 28 at -15.

$$-26y=13$$

Rhannu’r ddwy ochr â -26.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Cyfnewidiwch -\frac{1}{2} am y yn 4x+2y=5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x+2\left(-\frac{1}{2}\right)=5$$

Lluoswch 2 â -\frac{1}{2}.

$$4x-1=5$$

Adio 1 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{1}{2}$$