Datrys {l}{3x-2y=60}{2x+3y=17.2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 60 } \\ { 2 x + 3 y = 17.2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{1072}{65} = 16\frac{32}{65} \approx 16.492307692$$

$$y = -\frac{342}{65} = -5\frac{17}{65} \approx -5.261538462$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-2y=60,2x+3y=17.2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-2y=60$$

Adio 2y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=2y+60$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+60\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 60+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+20$$

Amnewid \frac{2y}{3}+20 am x yn yr hafaliad arall, 2x+3y=17.2.

$$2\left(\frac{2}{3}y+20\right)+3y=17.2$$

Lluoswch 2 â \frac{2y}{3}+20.

$$\frac{4}{3}y+40+3y=17.2$$

Adio \frac{4y}{3} at 3y.

$$\frac{13}{3}y+40=17.2$$

Tynnu 40 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{13}{3}y=-22.8$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{13}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{342}{65}$$

Cyfnewidiwch -\frac{342}{65} am y yn x=\frac{2}{3}y+20. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{342}{65}\right)+20$$

Lluoswch \frac{2}{3} â -\frac{342}{65} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{228}{65}+20$$

Adio 20 at -\frac{228}{65}.

$$x=\frac{1072}{65}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{1072}{65},y=-\frac{342}{65}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-2y=60,2x+3y=17.2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\17.2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\17.2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\17.2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\17.2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\17.2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\17.2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 60+\frac{2}{13}\times 17.2\\-\frac{2}{13}\times 60+\frac{3}{13}\times 17.2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1072}{65}\\-\frac{342}{65}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{1072}{65},y=-\frac{342}{65}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-2y=60,2x+3y=17.2$$

I wneud 3x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 60,3\times 2x+3\times 3y=3\times 17.2$$

Symleiddio.

$$6x-4y=120,6x+9y=51.6$$

Tynnwch 6x+9y=51.6 o 6x-4y=120 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x-4y-9y=120-51.6$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-4y-9y=120-51.6$$

Adio -4y at -9y.

$$-13y=120-51.6$$

Adio 120 at -51.6.

$$-13y=68.4$$

Rhannu’r ddwy ochr â -13.

$$y=-\frac{342}{65}$$

Cyfnewidiwch -\frac{342}{65} am y yn 2x+3y=17.2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+3\left(-\frac{342}{65}\right)=17.2$$

Lluoswch 3 â -\frac{342}{65}.

$$2x-\frac{1026}{65}=17.2$$

Adio \frac{1026}{65} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=\frac{2144}{65}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1072}{65}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{1072}{65},y=-\frac{342}{65}$$