Datrys {l}{3x-2y=5}{-3x+4y=-9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { - 3 x + 4 y = - 9 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-2y=5$$

Adio 2y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=2y+5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 2y+5.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Amnewid \frac{2y+5}{3} am x yn yr hafaliad arall, -3x+4y=-9.

$$-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+4y=-9$$

Lluoswch -3 â \frac{2y+5}{3}.

$$-2y-5+4y=-9$$

Adio -2y at 4y.

$$2y-5=-9$$

Adio 5 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2y=-4$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{5}{3}$$

Lluoswch \frac{2}{3} â -2.

$$x=\frac{-4+5}{3}$$

Adio \frac{5}{3} at -\frac{4}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{1}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 5+\frac{1}{3}\left(-9\right)\\\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

I wneud 3x a -3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -3 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3\times 5,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\left(-9\right)$$

Symleiddio.

$$-9x+6y=-15,-9x+12y=-27$$

Tynnwch -9x+12y=-27 o -9x+6y=-15 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-9x+9x+6y-12y=-15+27$$

Adio -9x at 9x. Mae'r termau -9x a 9x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$6y-12y=-15+27$$

Adio 6y at -12y.

$$-6y=-15+27$$

Adio -15 at 27.

$$-6y=12$$

Rhannu’r ddwy ochr â -6.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn -3x+4y=-9. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-3x+4\left(-2\right)=-9$$

Lluoswch 4 â -2.

$$-3x-8=-9$$

Adio 8 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3x=-1$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$x=\frac{1}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$