Datrys {l}{3x-2y=3}{2x+2y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 3 } \\ { 2 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

$$y = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-2y=3,2x+2y=8$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-2y=3$$

Adio 2y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=2y+3$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+3\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 2y+3.

$$x=\frac{2}{3}y+1$$

Amnewid \frac{2y}{3}+1 am x yn yr hafaliad arall, 2x+2y=8.

$$2\left(\frac{2}{3}y+1\right)+2y=8$$

Lluoswch 2 â \frac{2y}{3}+1.

$$\frac{4}{3}y+2+2y=8$$

Adio \frac{4y}{3} at 2y.

$$\frac{10}{3}y+2=8$$

Tynnu 2 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{10}{3}y=6$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{10}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{9}{5}$$

Cyfnewidiwch \frac{9}{5} am y yn x=\frac{2}{3}y+1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{9}{5}+1$$

Lluoswch \frac{2}{3} â \frac{9}{5} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{6}{5}+1$$

Adio 1 at \frac{6}{5}.

$$x=\frac{11}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{11}{5},y=\frac{9}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-2y=3,2x+2y=8$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 3+\frac{1}{5}\times 8\\-\frac{1}{5}\times 3+\frac{3}{10}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{5}\\\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{11}{5},y=\frac{9}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-2y=3,2x+2y=8$$

I wneud 3x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 3,3\times 2x+3\times 2y=3\times 8$$

Symleiddio.

$$6x-4y=6,6x+6y=24$$

Tynnwch 6x+6y=24 o 6x-4y=6 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x-4y-6y=6-24$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-4y-6y=6-24$$

Adio -4y at -6y.

$$-10y=6-24$$

Adio 6 at -24.

$$-10y=-18$$

Rhannu’r ddwy ochr â -10.

$$y=\frac{9}{5}$$

Cyfnewidiwch \frac{9}{5} am y yn 2x+2y=8. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+2\times \frac{9}{5}=8$$

Lluoswch 2 â \frac{9}{5}.

$$2x+\frac{18}{5}=8$$

Tynnu \frac{18}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=\frac{22}{5}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{11}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{11}{5},y=\frac{9}{5}$$