Datrys {l}{3x-2y=-10}{5x-11y=-9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = - 10 } \\ { 5 x - 11 y = - 9 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-4$$

$$y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-2y=-10,5x-11y=-9$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-2y=-10$$

Adio 2y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=2y-10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-10\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -10+2y.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}$$

Amnewid \frac{-10+2y}{3} am x yn yr hafaliad arall, 5x-11y=-9.

$$5\left(\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}\right)-11y=-9$$

Lluoswch 5 â \frac{-10+2y}{3}.

$$\frac{10}{3}y-\frac{50}{3}-11y=-9$$

Adio \frac{10y}{3} at -11y.

$$-\frac{23}{3}y-\frac{50}{3}=-9$$

Adio \frac{50}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{23}{3}y=\frac{23}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{23}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am y yn x=\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{2}{3}\left(-1\right)-\frac{10}{3}$$

Lluoswch \frac{2}{3} â -1.

$$x=\frac{-2-10}{3}$$

Adio -\frac{10}{3} at -\frac{2}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-4,y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-2y=-10,5x-11y=-9$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{3\left(-11\right)-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{3\left(-11\right)-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-11\right)-\left(-2\times 5\right)}&\frac{3}{3\left(-11\right)-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}&-\frac{2}{23}\\\frac{5}{23}&-\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}\left(-10\right)-\frac{2}{23}\left(-9\right)\\\frac{5}{23}\left(-10\right)-\frac{3}{23}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-4,y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-2y=-10,5x-11y=-9$$

I wneud 3x a 5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\left(-10\right),3\times 5x+3\left(-11\right)y=3\left(-9\right)$$

Symleiddio.

$$15x-10y=-50,15x-33y=-27$$

Tynnwch 15x-33y=-27 o 15x-10y=-50 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$15x-15x-10y+33y=-50+27$$

Adio 15x at -15x. Mae'r termau 15x a -15x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-10y+33y=-50+27$$

Adio -10y at 33y.

$$23y=-50+27$$

Adio -50 at 27.

$$23y=-23$$

Rhannu’r ddwy ochr â 23.

$$y=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am y yn 5x-11y=-9. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$5x-11\left(-1\right)=-9$$

Lluoswch -11 â -1.

$$5x+11=-9$$

Tynnu 11 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-20$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=-4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-4,y=-1$$