Datrys {l}{3x=2y}{5x+4y=2200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x = 2 y } \\ { 5 x + 4 y = 2200 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=200$$

$$y=300$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 2y o'r ddwy ochr.

$$3x-2y=0$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-2y=0,5x+4y=2200$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-2y=0$$

Adio 2y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=2y$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\times 2y$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 2y.

$$x=\frac{2}{3}y$$

Amnewid \frac{2y}{3} am x yn yr hafaliad arall, 5x+4y=2200.

$$5\times \frac{2}{3}y+4y=2200$$

Lluoswch 5 â \frac{2y}{3}.

$$\frac{10}{3}y+4y=2200$$

Adio \frac{10y}{3} at 4y.

$$\frac{22}{3}y=2200$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{22}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=300$$

Cyfnewidiwch 300 am y yn x=\frac{2}{3}y. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{2}{3}\times 300$$

Lluoswch \frac{2}{3} â 300.

$$x=200$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=200,y=300$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 2y o'r ddwy ochr.

$$3x-2y=0$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-2y=0,5x+4y=2200$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2200\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-2\\5&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2200\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2200\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2200\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\times 4-\left(-2\times 5\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2200\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{5}{22}&\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2200\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 2200\\\frac{3}{22}\times 2200\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\300\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=200,y=300$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 2y o'r ddwy ochr.

$$3x-2y=0$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-2y=0,5x+4y=2200$$

I wneud 3x a 5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$5\times 3x+5\left(-2\right)y=0,3\times 5x+3\times 4y=3\times 2200$$

Symleiddio.

$$15x-10y=0,15x+12y=6600$$

Tynnwch 15x+12y=6600 o 15x-10y=0 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$15x-15x-10y-12y=-6600$$

Adio 15x at -15x. Mae'r termau 15x a -15x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-10y-12y=-6600$$

Adio -10y at -12y.

$$-22y=-6600$$

Rhannu’r ddwy ochr â -22.

$$y=300$$

Cyfnewidiwch 300 am y yn 5x+4y=2200. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$5x+4\times 300=2200$$

Lluoswch 4 â 300.

$$5x+1200=2200$$

Tynnu 1200 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=1000$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=200$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=200,y=300$$