Datrys {l}{3x+y=11}{-4x-y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 11 } \\ { - 4 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-22$$

$$y=77$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+y=11$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-y+11$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+11\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -y+11.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}$$

Amnewid \frac{-y+11}{3} am x yn yr hafaliad arall, -4x-y=11.

$$-4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)-y=11$$

Lluoswch -4 â \frac{-y+11}{3}.

$$\frac{4}{3}y-\frac{44}{3}-y=11$$

Adio \frac{4y}{3} at -y.

$$\frac{1}{3}y-\frac{44}{3}=11$$

Adio \frac{44}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{3}y=\frac{77}{3}$$

Lluosi’r ddwy ochr â 3.

$$y=77$$

Cyfnewidiwch 77 am y yn x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{3}\times 77+\frac{11}{3}$$

Lluoswch -\frac{1}{3} â 77.

$$x=\frac{-77+11}{3}$$

Adio \frac{11}{3} at -\frac{77}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-22$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-22,y=77$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11-11\\4\times 11+3\times 11\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\77\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-22,y=77$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

I wneud 3x a -4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -4 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$-4\times 3x-4y=-4\times 11,3\left(-4\right)x+3\left(-1\right)y=3\times 11$$

Symleiddio.

$$-12x-4y=-44,-12x-3y=33$$

Tynnwch -12x-3y=33 o -12x-4y=-44 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-12x+12x-4y+3y=-44-33$$

Adio -12x at 12x. Mae'r termau -12x a 12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-4y+3y=-44-33$$

Adio -4y at 3y.

$$-y=-44-33$$

Adio -44 at -33.

$$-y=-77$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$y=77$$

Cyfnewidiwch 77 am y yn -4x-y=11. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-4x-77=11$$

Adio 77 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-4x=88$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$x=-22$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-22,y=77$$