Datrys {l}{3x+6y=24}{9x+5y=68}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 24 } \\ { 9 x + 5 y = 68 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{96}{13} = 7\frac{5}{13} \approx 7.384615385$$

$$y=\frac{4}{13}\approx 0.307692308$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+6y=24$$

Tynnu 6y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-6y+24$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+24\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -6y+24.

$$x=-2y+8$$

Amnewid -2y+8 am x yn yr hafaliad arall, 9x+5y=68.

$$9\left(-2y+8\right)+5y=68$$

Lluoswch 9 â -2y+8.

$$-18y+72+5y=68$$

Adio -18y at 5y.

$$-13y+72=68$$

Tynnu 72 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-13y=-4$$

Rhannu’r ddwy ochr â -13.

$$y=\frac{4}{13}$$

Cyfnewidiwch \frac{4}{13} am y yn x=-2y+8. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-2\times \frac{4}{13}+8$$

Lluoswch -2 â \frac{4}{13}.

$$x=-\frac{8}{13}+8$$

Adio 8 at -\frac{8}{13}.

$$x=\frac{96}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{3\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{3\times 5-6\times 9}&\frac{3}{3\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}\times 24+\frac{2}{13}\times 68\\\frac{3}{13}\times 24-\frac{1}{13}\times 68\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{96}{13}\\\frac{4}{13}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

I wneud 3x a 9x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 9 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$9\times 3x+9\times 6y=9\times 24,3\times 9x+3\times 5y=3\times 68$$

Symleiddio.

$$27x+54y=216,27x+15y=204$$

Tynnwch 27x+15y=204 o 27x+54y=216 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$27x-27x+54y-15y=216-204$$

Adio 27x at -27x. Mae'r termau 27x a -27x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$54y-15y=216-204$$

Adio 54y at -15y.

$$39y=216-204$$

Adio 216 at -204.

$$39y=12$$

Rhannu’r ddwy ochr â 39.

$$y=\frac{4}{13}$$

Cyfnewidiwch \frac{4}{13} am y yn 9x+5y=68. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$9x+5\times \frac{4}{13}=68$$

Lluoswch 5 â \frac{4}{13}.

$$9x+\frac{20}{13}=68$$

Tynnu \frac{20}{13} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$9x=\frac{864}{13}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$x=\frac{96}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$