Datrys {l}{3x+5y-1=0}{4x+3y-5=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y - 1 = 0 } \\ { 4 x + 3 y - 5 = 0 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+5y-1=0,4x+3y-5=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+5y-1=0$$

Adio 1 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x+5y=1$$

Tynnu 5y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-5y+1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+1\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -5y+1.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}$$

Amnewid \frac{-5y+1}{3} am x yn yr hafaliad arall, 4x+3y-5=0.

$$4\left(-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}\right)+3y-5=0$$

Lluoswch 4 â \frac{-5y+1}{3}.

$$-\frac{20}{3}y+\frac{4}{3}+3y-5=0$$

Adio -\frac{20y}{3} at 3y.

$$-\frac{11}{3}y+\frac{4}{3}-5=0$$

Adio \frac{4}{3} at -5.

$$-\frac{11}{3}y-\frac{11}{3}=0$$

Adio \frac{11}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{11}{3}y=\frac{11}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{11}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am y yn x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}$$

Lluoswch -\frac{5}{3} â -1.

$$x=\frac{5+1}{3}$$

Adio \frac{1}{3} at \frac{5}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+5y-1=0,4x+3y-5=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&5\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 4}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 4}\\-\frac{4}{3\times 3-5\times 4}&\frac{3}{3\times 3-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}+\frac{5}{11}\times 5\\\frac{4}{11}-\frac{3}{11}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=2,y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+5y-1=0,4x+3y-5=0$$

I wneud 3x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$4\times 3x+4\times 5y+4\left(-1\right)=0,3\times 4x+3\times 3y+3\left(-5\right)=0$$

Symleiddio.

$$12x+20y-4=0,12x+9y-15=0$$

Tynnwch 12x+9y-15=0 o 12x+20y-4=0 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12x-12x+20y-9y-4+15=0$$

Adio 12x at -12x. Mae'r termau 12x a -12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$20y-9y-4+15=0$$

Adio 20y at -9y.

$$11y-4+15=0$$

Adio -4 at 15.

$$11y+11=0$$

Tynnu 11 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$11y=-11$$

Rhannu’r ddwy ochr â 11.

$$y=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am y yn 4x+3y-5=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x+3\left(-1\right)-5=0$$

Lluoswch 3 â -1.

$$4x-3-5=0$$

Adio -3 at -5.

$$4x-8=0$$

Adio 8 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=8$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=-1$$