Datrys {l}{3x+5y=6}{7x+8y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 6 } \\ { 7 x + 8 y = 7 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = -\frac{13}{11} = -1\frac{2}{11} \approx -1.181818182$$

$$y = \frac{21}{11} = 1\frac{10}{11} \approx 1.909090909$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+5y=6,7x+8y=7$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+5y=6$$

Tynnu 5y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-5y+6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+6\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -5y+6.

$$x=-\frac{5}{3}y+2$$

Amnewid -\frac{5y}{3}+2 am x yn yr hafaliad arall, 7x+8y=7.

$$7\left(-\frac{5}{3}y+2\right)+8y=7$$

Lluoswch 7 â -\frac{5y}{3}+2.

$$-\frac{35}{3}y+14+8y=7$$

Adio -\frac{35y}{3} at 8y.

$$-\frac{11}{3}y+14=7$$

Tynnu 14 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{11}{3}y=-7$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{11}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{21}{11}$$

Cyfnewidiwch \frac{21}{11} am y yn x=-\frac{5}{3}y+2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{21}{11}+2$$

Lluoswch -\frac{5}{3} â \frac{21}{11} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{35}{11}+2$$

Adio 2 at -\frac{35}{11}.

$$x=-\frac{13}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{13}{11},y=\frac{21}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+5y=6,7x+8y=7$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&5\\7&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-5\times 7}&-\frac{5}{3\times 8-5\times 7}\\-\frac{7}{3\times 8-5\times 7}&\frac{3}{3\times 8-5\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{7}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{11}\times 6+\frac{5}{11}\times 7\\\frac{7}{11}\times 6-\frac{3}{11}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{11}\\\frac{21}{11}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{13}{11},y=\frac{21}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+5y=6,7x+8y=7$$

I wneud 3x a 7x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 7 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$7\times 3x+7\times 5y=7\times 6,3\times 7x+3\times 8y=3\times 7$$

Symleiddio.

$$21x+35y=42,21x+24y=21$$

Tynnwch 21x+24y=21 o 21x+35y=42 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$21x-21x+35y-24y=42-21$$

Adio 21x at -21x. Mae'r termau 21x a -21x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$35y-24y=42-21$$

Adio 35y at -24y.

$$11y=42-21$$

Adio 42 at -21.

$$11y=21$$

Rhannu’r ddwy ochr â 11.

$$y=\frac{21}{11}$$

Cyfnewidiwch \frac{21}{11} am y yn 7x+8y=7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$7x+8\times \frac{21}{11}=7$$

Lluoswch 8 â \frac{21}{11}.

$$7x+\frac{168}{11}=7$$

Tynnu \frac{168}{11} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=-\frac{91}{11}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=-\frac{13}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{13}{11},y=\frac{21}{11}$$