Datrys {l}{3x+5y=4}{-3x+4y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 4 } \\ { - 3 x + 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = -\frac{13}{9} = -1\frac{4}{9} \approx -1.444444444$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+5y=4$$

Tynnu 5y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-5y+4$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+4\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -5y+4.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Amnewid \frac{-5y+4}{3} am x yn yr hafaliad arall, -3x+4y=11.

$$-3\left(-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)+4y=11$$

Lluoswch -3 â \frac{-5y+4}{3}.

$$5y-4+4y=11$$

Adio 5y at 4y.

$$9y-4=11$$

Adio 4 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$9y=15$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$y=\frac{5}{3}$$

Cyfnewidiwch \frac{5}{3} am y yn x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{5}{3}+\frac{4}{3}$$

Lluoswch -\frac{5}{3} â \frac{5}{3} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{25}{9}+\frac{4}{3}$$

Adio \frac{4}{3} at -\frac{25}{9} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{13}{9}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-5\left(-3\right)}&-\frac{5}{3\times 4-5\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-5\left(-3\right)}&\frac{3}{3\times 4-5\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}&-\frac{5}{27}\\\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}\times 4-\frac{5}{27}\times 11\\\frac{1}{9}\times 4+\frac{1}{9}\times 11\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{9}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

I wneud 3x a -3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -3 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$-3\times 3x-3\times 5y=-3\times 4,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 11$$

Symleiddio.

$$-9x-15y=-12,-9x+12y=33$$

Tynnwch -9x+12y=33 o -9x-15y=-12 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-9x+9x-15y-12y=-12-33$$

Adio -9x at 9x. Mae'r termau -9x a 9x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-15y-12y=-12-33$$

Adio -15y at -12y.

$$-27y=-12-33$$

Adio -12 at -33.

$$-27y=-45$$

Rhannu’r ddwy ochr â -27.

$$y=\frac{5}{3}$$

Cyfnewidiwch \frac{5}{3} am y yn -3x+4y=11. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-3x+4\times \frac{5}{3}=11$$

Lluoswch 4 â \frac{5}{3}.

$$-3x+\frac{20}{3}=11$$

Tynnu \frac{20}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3x=\frac{13}{3}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$x=-\frac{13}{9}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$