Datrys {l}{3x+5y=1}{2x-3y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 1 } \\ { 2 x - 3 y = 0 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{3}{19}\approx 0.157894737$$

$$y=\frac{2}{19}\approx 0.105263158$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+5y=1$$

Tynnu 5y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-5y+1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+1\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -5y+1.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}$$

Amnewid \frac{-5y+1}{3} am x yn yr hafaliad arall, 2x-3y=0.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}\right)-3y=0$$

Lluoswch 2 â \frac{-5y+1}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{2}{3}-3y=0$$

Adio -\frac{10y}{3} at -3y.

$$-\frac{19}{3}y+\frac{2}{3}=0$$

Tynnu \frac{2}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{19}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{19}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{2}{19}$$

Cyfnewidiwch \frac{2}{19} am y yn x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{2}{19}+\frac{1}{3}$$

Lluoswch -\frac{5}{3} â \frac{2}{19} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{10}{57}+\frac{1}{3}$$

Adio \frac{1}{3} at -\frac{10}{57} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{3}{19}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-5\times 2}&-\frac{5}{3\left(-3\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-5\times 2}&\frac{3}{3\left(-3\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{2}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\\\frac{2}{19}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

I wneud 3x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2,3\times 2x+3\left(-3\right)y=0$$

Symleiddio.

$$6x+10y=2,6x-9y=0$$

Tynnwch 6x-9y=0 o 6x+10y=2 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x+10y+9y=2$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$10y+9y=2$$

Adio 10y at 9y.

$$19y=2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 19.

$$y=\frac{2}{19}$$

Cyfnewidiwch \frac{2}{19} am y yn 2x-3y=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x-3\times \frac{2}{19}=0$$

Lluoswch -3 â \frac{2}{19}.

$$2x-\frac{6}{19}=0$$

Adio \frac{6}{19} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=\frac{6}{19}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{3}{19}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$