Datrys {l}{3x+2y=7}{2x+y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+2y=7,2x+y=4$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+2y=7$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-2y+7$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -2y+7.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

Amnewid \frac{-2y+7}{3} am x yn yr hafaliad arall, 2x+y=4.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)+y=4$$

Lluoswch 2 â \frac{-2y+7}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{14}{3}+y=4$$

Adio -\frac{4y}{3} at y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{14}{3}=4$$

Tynnu \frac{14}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Lluosi’r ddwy ochr â -3.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{7}{3}$$

Lluoswch -\frac{2}{3} â 2.

$$x=\frac{-4+7}{3}$$

Adio \frac{7}{3} at -\frac{4}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+2y=7,2x+y=4$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7+2\times 4\\2\times 7-3\times 4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+2y=7,2x+y=4$$

I wneud 3x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 7,3\times 2x+3y=3\times 4$$

Symleiddio.

$$6x+4y=14,6x+3y=12$$

Tynnwch 6x+3y=12 o 6x+4y=14 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x+4y-3y=14-12$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$4y-3y=14-12$$

Adio 4y at -3y.

$$y=14-12$$

Adio 14 at -12.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn 2x+y=4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+2=4$$

Tynnu 2 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=2$$