Datrys {l}{3x+2y=10}{7x-8y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 10 } \\ { 7 x - 8 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=2$$

$$y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+2y=10,7x-8y=-2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+2y=10$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-2y+10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+10\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -2y+10.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}$$

Amnewid \frac{-2y+10}{3} am x yn yr hafaliad arall, 7x-8y=-2.

$$7\left(-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}\right)-8y=-2$$

Lluoswch 7 â \frac{-2y+10}{3}.

$$-\frac{14}{3}y+\frac{70}{3}-8y=-2$$

Adio -\frac{14y}{3} at -8y.

$$-\frac{38}{3}y+\frac{70}{3}=-2$$

Tynnu \frac{70}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{38}{3}y=-\frac{76}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{38}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn x=-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{10}{3}$$

Lluoswch -\frac{2}{3} â 2.

$$x=\frac{-4+10}{3}$$

Adio \frac{10}{3} at -\frac{4}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+2y=10,7x-8y=-2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-2\times 7}&-\frac{2}{3\left(-8\right)-2\times 7}\\-\frac{7}{3\left(-8\right)-2\times 7}&\frac{3}{3\left(-8\right)-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{7}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}\times 10+\frac{1}{19}\left(-2\right)\\\frac{7}{38}\times 10-\frac{3}{38}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=2,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+2y=10,7x-8y=-2$$

I wneud 3x a 7x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 7 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$7\times 3x+7\times 2y=7\times 10,3\times 7x+3\left(-8\right)y=3\left(-2\right)$$

Symleiddio.

$$21x+14y=70,21x-24y=-6$$

Tynnwch 21x-24y=-6 o 21x+14y=70 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$21x-21x+14y+24y=70+6$$

Adio 21x at -21x. Mae'r termau 21x a -21x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$14y+24y=70+6$$

Adio 14y at 24y.

$$38y=70+6$$

Adio 70 at 6.

$$38y=76$$

Rhannu’r ddwy ochr â 38.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn 7x-8y=-2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$7x-8\times 2=-2$$

Lluoswch -8 â 2.

$$7x-16=-2$$

Adio 16 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=14$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=2$$