Datrys {l}{3x+2y=1}{2x-7y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 1 } \\ { 2 x - 7 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{3}{25}=0.12$$

$$y=\frac{8}{25}=0.32$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+2y=1,2x-7y=-2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+2y=1$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-2y+1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+1\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -2y+1.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

Amnewid \frac{-2y+1}{3} am x yn yr hafaliad arall, 2x-7y=-2.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-7y=-2$$

Lluoswch 2 â \frac{-2y+1}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{2}{3}-7y=-2$$

Adio -\frac{4y}{3} at -7y.

$$-\frac{25}{3}y+\frac{2}{3}=-2$$

Tynnu \frac{2}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{25}{3}y=-\frac{8}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{25}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{8}{25}$$

Cyfnewidiwch \frac{8}{25} am y yn x=-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{8}{25}+\frac{1}{3}$$

Lluoswch -\frac{2}{3} â \frac{8}{25} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{16}{75}+\frac{1}{3}$$

Adio \frac{1}{3} at -\frac{16}{75} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{3}{25}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+2y=1,2x-7y=-2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3\left(-7\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-7\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-7\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-7\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}&\frac{2}{25}\\\frac{2}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}+\frac{2}{25}\left(-2\right)\\\frac{2}{25}-\frac{3}{25}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\\\frac{8}{25}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+2y=1,2x-7y=-2$$

I wneud 3x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2,3\times 2x+3\left(-7\right)y=3\left(-2\right)$$

Symleiddio.

$$6x+4y=2,6x-21y=-6$$

Tynnwch 6x-21y=-6 o 6x+4y=2 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x+4y+21y=2+6$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$4y+21y=2+6$$

Adio 4y at 21y.

$$25y=2+6$$

Adio 2 at 6.

$$25y=8$$

Rhannu’r ddwy ochr â 25.

$$y=\frac{8}{25}$$

Cyfnewidiwch \frac{8}{25} am y yn 2x-7y=-2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x-7\times \frac{8}{25}=-2$$

Lluoswch -7 â \frac{8}{25}.

$$2x-\frac{56}{25}=-2$$

Adio \frac{56}{25} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=\frac{6}{25}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{3}{25}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$