Datrys {l}{3a-4b=2}{5a+4b=14}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a - 4 b = 2 } \\ { 5 a + 4 b = 14 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer a, b

$$a=2$$

$$b=1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3a-4b=2,5a+4b=14$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer a drwy ynysu a ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3a-4b=2$$

Adio 4b at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3a=4b+2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(4b+2\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 4b+2.

$$a=\frac{4}{3}b+\frac{2}{3}$$

Amnewid \frac{4b+2}{3} am a yn yr hafaliad arall, 5a+4b=14.

$$5\left(\frac{4}{3}b+\frac{2}{3}\right)+4b=14$$

Lluoswch 5 â \frac{4b+2}{3}.

$$\frac{20}{3}b+\frac{10}{3}+4b=14$$

Adio \frac{20b}{3} at 4b.

$$\frac{32}{3}b+\frac{10}{3}=14$$

Tynnu \frac{10}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{32}{3}b=\frac{32}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{32}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$b=1$$

Cyfnewidiwch 1 am b yn a=\frac{4}{3}b+\frac{2}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$a=\frac{4+2}{3}$$

Adio \frac{2}{3} at \frac{4}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$a=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=2,b=1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3a-4b=2,5a+4b=14$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-4\times 5\right)}&-\frac{-4}{3\times 4-\left(-4\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\times 4-\left(-4\times 5\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-4\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{32}&\frac{3}{32}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 2+\frac{1}{8}\times 14\\-\frac{5}{32}\times 2+\frac{3}{32}\times 14\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics a a b.

$$a=2,b=1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3a-4b=2,5a+4b=14$$

I wneud 3a a 5a yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$5\times 3a+5\left(-4\right)b=5\times 2,3\times 5a+3\times 4b=3\times 14$$

Symleiddio.

$$15a-20b=10,15a+12b=42$$

Tynnwch 15a+12b=42 o 15a-20b=10 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$15a-15a-20b-12b=10-42$$

Adio 15a at -15a. Mae'r termau 15a a -15a yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-20b-12b=10-42$$

Adio -20b at -12b.

$$-32b=10-42$$

Adio 10 at -42.

$$-32b=-32$$

Rhannu’r ddwy ochr â -32.

$$b=1$$

Cyfnewidiwch 1 am b yn 5a+4b=14. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$5a+4=14$$

Tynnu 4 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5a=10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$a=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=2,b=1$$