Datrys {l}{3a+14b=4}{13a+19b=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 14 b = 4 } \\ { 13 a + 19 b = 13 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer a, b

$$a=\frac{106}{125}=0.848$$

$$b=\frac{13}{125}=0.104$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer a drwy ynysu a ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3a+14b=4$$

Tynnu 14b o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3a=-14b+4$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-14b+4\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -14b+4.

$$a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}$$

Amnewid \frac{-14b+4}{3} am a yn yr hafaliad arall, 13a+19b=13.

$$13\left(-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}\right)+19b=13$$

Lluoswch 13 â \frac{-14b+4}{3}.

$$-\frac{182}{3}b+\frac{52}{3}+19b=13$$

Adio -\frac{182b}{3} at 19b.

$$-\frac{125}{3}b+\frac{52}{3}=13$$

Tynnu \frac{52}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{125}{3}b=-\frac{13}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{125}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$b=\frac{13}{125}$$

Cyfnewidiwch \frac{13}{125} am b yn a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$a=-\frac{14}{3}\times \frac{13}{125}+\frac{4}{3}$$

Lluoswch -\frac{14}{3} â \frac{13}{125} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$a=-\frac{182}{375}+\frac{4}{3}$$

Adio \frac{4}{3} at -\frac{182}{375} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$a=\frac{106}{125}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{3\times 19-14\times 13}&-\frac{14}{3\times 19-14\times 13}\\-\frac{13}{3\times 19-14\times 13}&\frac{3}{3\times 19-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}&\frac{14}{125}\\\frac{13}{125}&-\frac{3}{125}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}\times 4+\frac{14}{125}\times 13\\\frac{13}{125}\times 4-\frac{3}{125}\times 13\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{106}{125}\\\frac{13}{125}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics a a b.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

I wneud 3a a 13a yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 13 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$13\times 3a+13\times 14b=13\times 4,3\times 13a+3\times 19b=3\times 13$$

Symleiddio.

$$39a+182b=52,39a+57b=39$$

Tynnwch 39a+57b=39 o 39a+182b=52 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$39a-39a+182b-57b=52-39$$

Adio 39a at -39a. Mae'r termau 39a a -39a yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$182b-57b=52-39$$

Adio 182b at -57b.

$$125b=52-39$$

Adio 52 at -39.

$$125b=13$$

Rhannu’r ddwy ochr â 125.

$$b=\frac{13}{125}$$

Cyfnewidiwch \frac{13}{125} am b yn 13a+19b=13. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$13a+19\times \frac{13}{125}=13$$

Lluoswch 19 â \frac{13}{125}.

$$13a+\frac{247}{125}=13$$

Tynnu \frac{247}{125} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$13a=\frac{1378}{125}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 13.

$$a=\frac{106}{125}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$