Datrys {l}{3(x-1)=2(y-1)}{4(y-1)=3(x+5)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x - 1 ) = 2 ( y - 1 ) } \\ { 4 ( y - 1 ) = 3 ( x + 5 ) } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=7$$

$$y=10$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â x-1.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â y-1.

$$3x-3=2y-2$$

Tynnu 2y o'r ddwy ochr.

$$3x-3-2y=-2$$

Ychwanegu 3 at y ddwy ochr.

$$3x-2y=-2+3$$

Adio -2 a 3 i gael 1.

$$3x-2y=1$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â y-1.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â x+5.

$$4y-4=3x+15$$

Tynnu 3x o'r ddwy ochr.

$$4y-4-3x=15$$

Ychwanegu 4 at y ddwy ochr.

$$4y-3x=15+4$$

Adio 15 a 4 i gael 19.

$$4y-3x=19$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-2y=1$$

Adio 2y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=2y+1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 2y+1.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

Amnewid \frac{2y+1}{3} am x yn yr hafaliad arall, -3x+4y=19.

$$-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=19$$

Lluoswch -3 â \frac{2y+1}{3}.

$$-2y-1+4y=19$$

Adio -2y at 4y.

$$2y-1=19$$

Adio 1 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2y=20$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=10$$

Cyfnewidiwch 10 am y yn x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{2}{3}\times 10+\frac{1}{3}$$

Lluoswch \frac{2}{3} â 10.

$$x=\frac{20+1}{3}$$

Adio \frac{1}{3} at \frac{20}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=7,y=10$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â x-1.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â y-1.

$$3x-3=2y-2$$

Tynnu 2y o'r ddwy ochr.

$$3x-3-2y=-2$$

Ychwanegu 3 at y ddwy ochr.

$$3x-2y=-2+3$$

Adio -2 a 3 i gael 1.

$$3x-2y=1$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â y-1.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â x+5.

$$4y-4=3x+15$$

Tynnu 3x o'r ddwy ochr.

$$4y-4-3x=15$$

Ychwanegu 4 at y ddwy ochr.

$$4y-3x=15+4$$

Adio 15 a 4 i gael 19.

$$4y-3x=19$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 19\\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 19\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=7,y=10$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â x-1.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â y-1.

$$3x-3=2y-2$$

Tynnu 2y o'r ddwy ochr.

$$3x-3-2y=-2$$

Ychwanegu 3 at y ddwy ochr.

$$3x-2y=-2+3$$

Adio -2 a 3 i gael 1.

$$3x-2y=1$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â y-1.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â x+5.

$$4y-4=3x+15$$

Tynnu 3x o'r ddwy ochr.

$$4y-4-3x=15$$

Ychwanegu 4 at y ddwy ochr.

$$4y-3x=15+4$$

Adio 15 a 4 i gael 19.

$$4y-3x=19$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

I wneud 3x a -3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -3 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 19$$

Symleiddio.

$$-9x+6y=-3,-9x+12y=57$$

Tynnwch -9x+12y=57 o -9x+6y=-3 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-9x+9x+6y-12y=-3-57$$

Adio -9x at 9x. Mae'r termau -9x a 9x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$6y-12y=-3-57$$

Adio 6y at -12y.

$$-6y=-3-57$$

Adio -3 at -57.

$$-6y=-60$$

Rhannu’r ddwy ochr â -6.

$$y=10$$

Cyfnewidiwch 10 am y yn -3x+4y=19. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-3x+4\times 10=19$$

Lluoswch 4 â 10.

$$-3x+40=19$$

Tynnu 40 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3x=-21$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$x=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=7,y=10$$