Datrys {l}{3(x+y)=2y-5}{4(x-y)=x+5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) = 2 y - 5 } \\ { 4 ( x - y ) = x + 5 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â x+y.

$$3x+3y=2y-5$$

Tynnu 2y o'r ddwy ochr.

$$3x+3y-2y=-5$$

Cyfuno 3y a -2y i gael y.

$$3x+y=-5$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â x-y.

$$4x-4y=x+5$$

Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$4x-4y-x=5$$

Cyfuno 4x a -x i gael 3x.

$$3x-4y=5$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+y=-5,3x-4y=5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+y=-5$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-y-5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y-5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -y-5.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}$$

Amnewid \frac{-y-5}{3} am x yn yr hafaliad arall, 3x-4y=5.

$$3\left(-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}\right)-4y=5$$

Lluoswch 3 â \frac{-y-5}{3}.

$$-y-5-4y=5$$

Adio -y at -4y.

$$-5y-5=5$$

Adio 5 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-5y=10$$

Rhannu’r ddwy ochr â -5.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{5}{3}$$

Lluoswch -\frac{1}{3} â -2.

$$x=\frac{2-5}{3}$$

Adio -\frac{5}{3} at \frac{2}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-1,y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â x+y.

$$3x+3y=2y-5$$

Tynnu 2y o'r ddwy ochr.

$$3x+3y-2y=-5$$

Cyfuno 3y a -2y i gael y.

$$3x+y=-5$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â x-y.

$$4x-4y=x+5$$

Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$4x-4y-x=5$$

Cyfuno 4x a -x i gael 3x.

$$3x-4y=5$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+y=-5,3x-4y=5$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&1\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-3}&-\frac{1}{3\left(-4\right)-3}\\-\frac{3}{3\left(-4\right)-3}&\frac{3}{3\left(-4\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{15}&\frac{1}{15}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{15}\left(-5\right)+\frac{1}{15}\times 5\\\frac{1}{5}\left(-5\right)-\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-1,y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â x+y.

$$3x+3y=2y-5$$

Tynnu 2y o'r ddwy ochr.

$$3x+3y-2y=-5$$

Cyfuno 3y a -2y i gael y.

$$3x+y=-5$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â x-y.

$$4x-4y=x+5$$

Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$4x-4y-x=5$$

Cyfuno 4x a -x i gael 3x.

$$3x-4y=5$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+y=-5,3x-4y=5$$

Tynnwch 3x-4y=5 o 3x+y=-5 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$3x-3x+y+4y=-5-5$$

Adio 3x at -3x. Mae'r termau 3x a -3x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$y+4y=-5-5$$

Adio y at 4y.

$$5y=-5-5$$

Adio -5 at -5.

$$5y=-10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn 3x-4y=5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x-4\left(-2\right)=5$$

Lluoswch -4 â -2.

$$3x+8=5$$

Tynnu 8 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-3$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=-1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-1,y=-2$$