Datrys {l}{3(5x-2)-7(2y+3)=2}{2(3x-y)-23=3(4-9x)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 5 x - 2 ) - 7 ( 2 y + 3 ) = 2 } \\ { 2 ( 3 x - y ) - 23 = 3 ( 4 - 9 x ) } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â 5x-2.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -7 â 2y+3.

$$15x-6-14y-21=2$$

Tynnu 21 o -6 i gael -27.

$$15x-27-14y=2$$

Ychwanegu 27 at y ddwy ochr.

$$15x-14y=2+27$$

Adio 2 a 27 i gael 29.

$$15x-14y=29$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â 3x-y.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â 4-9x.

$$6x-2y-23=12-27x$$

Ychwanegu 27x at y ddwy ochr.

$$6x-2y-23+27x=12$$

Cyfuno 6x a 27x i gael 33x.

$$33x-2y-23=12$$

Ychwanegu 23 at y ddwy ochr.

$$33x-2y=12+23$$

Adio 12 a 23 i gael 35.

$$33x-2y=35$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$15x-14y=29$$

Adio 14y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$15x=14y+29$$

Rhannu’r ddwy ochr â 15.

$$x=\frac{1}{15}\left(14y+29\right)$$

Lluoswch \frac{1}{15} â 14y+29.

$$x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}$$

Amnewid \frac{14y+29}{15} am x yn yr hafaliad arall, 33x-2y=35.

$$33\left(\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}\right)-2y=35$$

Lluoswch 33 â \frac{14y+29}{15}.

$$\frac{154}{5}y+\frac{319}{5}-2y=35$$

Adio \frac{154y}{5} at -2y.

$$\frac{144}{5}y+\frac{319}{5}=35$$

Tynnu \frac{319}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{144}{5}y=-\frac{144}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{144}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am y yn x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{14}{15}\left(-1\right)+\frac{29}{15}$$

Lluoswch \frac{14}{15} â -1.

$$x=\frac{-14+29}{15}$$

Adio \frac{29}{15} at -\frac{14}{15} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â 5x-2.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -7 â 2y+3.

$$15x-6-14y-21=2$$

Tynnu 21 o -6 i gael -27.

$$15x-27-14y=2$$

Ychwanegu 27 at y ddwy ochr.

$$15x-14y=2+27$$

Adio 2 a 27 i gael 29.

$$15x-14y=29$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â 3x-y.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â 4-9x.

$$6x-2y-23=12-27x$$

Ychwanegu 27x at y ddwy ochr.

$$6x-2y-23+27x=12$$

Cyfuno 6x a 27x i gael 33x.

$$33x-2y-23=12$$

Ychwanegu 23 at y ddwy ochr.

$$33x-2y=12+23$$

Adio 12 a 23 i gael 35.

$$33x-2y=35$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&-\frac{-14}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\\-\frac{33}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&\frac{15}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}&\frac{7}{216}\\-\frac{11}{144}&\frac{5}{144}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}\times 29+\frac{7}{216}\times 35\\-\frac{11}{144}\times 29+\frac{5}{144}\times 35\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â 5x-2.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -7 â 2y+3.

$$15x-6-14y-21=2$$

Tynnu 21 o -6 i gael -27.

$$15x-27-14y=2$$

Ychwanegu 27 at y ddwy ochr.

$$15x-14y=2+27$$

Adio 2 a 27 i gael 29.

$$15x-14y=29$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â 3x-y.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â 4-9x.

$$6x-2y-23=12-27x$$

Ychwanegu 27x at y ddwy ochr.

$$6x-2y-23+27x=12$$

Cyfuno 6x a 27x i gael 33x.

$$33x-2y-23=12$$

Ychwanegu 23 at y ddwy ochr.

$$33x-2y=12+23$$

Adio 12 a 23 i gael 35.

$$33x-2y=35$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

I wneud 15x a 33x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 33 a holl dermau naill ochr yr ail â 15.

$$33\times 15x+33\left(-14\right)y=33\times 29,15\times 33x+15\left(-2\right)y=15\times 35$$

Symleiddio.

$$495x-462y=957,495x-30y=525$$

Tynnwch 495x-30y=525 o 495x-462y=957 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$495x-495x-462y+30y=957-525$$

Adio 495x at -495x. Mae'r termau 495x a -495x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-462y+30y=957-525$$

Adio -462y at 30y.

$$-432y=957-525$$

Adio 957 at -525.

$$-432y=432$$

Rhannu’r ddwy ochr â -432.

$$y=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am y yn 33x-2y=35. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$33x-2\left(-1\right)=35$$

Lluoswch -2 â -1.

$$33x+2=35$$

Tynnu 2 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$33x=33$$

Rhannu’r ddwy ochr â 33.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=-1$$