Datrys {l}{3(2x+1)-5(y-3)=1}{5(1-x)-4(2y+1)=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 2 x + 1 ) - 5 ( y - 3 ) = 1 } \\ { 5 ( 1 - x ) - 4 ( 2 y + 1 ) = 3 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-2$$

$$y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

Lluoswch 3 â 2x+1.

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

Lluoswch -5 â y-3.

$$6x+3-5y+15=1$$

Adio 3 at 15.

$$6x-5y+18=1$$

Tynnu 18 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$6x-5y=-17$$

Adio 5y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$6x=5y-17$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y-17\right)$$

Lluoswch \frac{1}{6} â 5y-17.

$$x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}$$

Amnewid \frac{5y-17}{6} am x yn yr hafaliad arall, 5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3.

$$5\left(-\left(\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}\right)+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Lluoswch -1 â \frac{5y-17}{6}.

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{17}{6}+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Adio \frac{17}{6} at 1.

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Lluoswch 5 â \frac{-5y+23}{6}.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-4\left(2y+1\right)=3$$

Lluoswch -4 â 2y+1.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-8y-4=3$$

Adio -\frac{25y}{6} at -8y.

$$-\frac{73}{6}y+\frac{115}{6}-4=3$$

Adio \frac{115}{6} at -4.

$$-\frac{73}{6}y+\frac{91}{6}=3$$

Tynnu \frac{91}{6} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{73}{6}y=-\frac{73}{6}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{73}{6}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{5-17}{6}$$

Adio -\frac{17}{6} at \frac{5}{6} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-2,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Symleiddio'r hafaliad cyntaf i'w roi yn y ffurf safonol.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

Lluoswch 3 â 2x+1.

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

Lluoswch -5 â y-3.

$$6x+3-5y+15=1$$

Adio 3 at 15.

$$6x-5y+18=1$$

Tynnu 18 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$6x-5y=-17$$

Symleiddio'r ail hafaliad i’w roi yn y ffurf safonol.

$$5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Lluoswch 5 â -x+1.

$$-5x+5-4\left(2y+1\right)=3$$

Lluoswch -4 â 2y+1.

$$-5x+5-8y-4=3$$

Adio 5 at -4.

$$-5x-8y+1=3$$

Tynnu 1 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-5x-8y=2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&\frac{6}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}&-\frac{5}{73}\\-\frac{5}{73}&-\frac{6}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}\left(-17\right)-\frac{5}{73}\times 2\\-\frac{5}{73}\left(-17\right)-\frac{6}{73}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-2,y=1$$