Datrys {l}{25x+35y=16500}{x+y=500}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 35 y = 16500 } \\ { x + y = 500 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=100$$

$$y=400$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$25x+35y=16500$$

Tynnu 35y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$25x=-35y+16500$$

Rhannu’r ddwy ochr â 25.

$$x=\frac{1}{25}\left(-35y+16500\right)$$

Lluoswch \frac{1}{25} â -35y+16500.

$$x=-\frac{7}{5}y+660$$

Amnewid -\frac{7y}{5}+660 am x yn yr hafaliad arall, x+y=500.

$$-\frac{7}{5}y+660+y=500$$

Adio -\frac{7y}{5} at y.

$$-\frac{2}{5}y+660=500$$

Tynnu 660 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{2}{5}y=-160$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{2}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=400$$

Cyfnewidiwch 400 am y yn x=-\frac{7}{5}y+660. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{7}{5}\times 400+660$$

Lluoswch -\frac{7}{5} â 400.

$$x=-560+660$$

Adio 660 at -560.

$$x=100$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=100,y=400$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-35}&-\frac{35}{25-35}\\-\frac{1}{25-35}&\frac{25}{25-35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{10}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 16500+\frac{7}{2}\times 500\\\frac{1}{10}\times 16500-\frac{5}{2}\times 500\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\400\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=100,y=400$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

I wneud 25x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 25.

$$25x+35y=16500,25x+25y=25\times 500$$

Symleiddio.

$$25x+35y=16500,25x+25y=12500$$

Tynnwch 25x+25y=12500 o 25x+35y=16500 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$25x-25x+35y-25y=16500-12500$$

Adio 25x at -25x. Mae'r termau 25x a -25x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$35y-25y=16500-12500$$

Adio 35y at -25y.

$$10y=16500-12500$$

Adio 16500 at -12500.

$$10y=4000$$

Rhannu’r ddwy ochr â 10.

$$y=400$$

Cyfnewidiwch 400 am y yn x+y=500. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x+400=500$$

Tynnu 400 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=100$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=100,y=400$$