Datrys {l}{25x+110y=6100}{x+y=50}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 110 y = 6100 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = -\frac{120}{17} = -7\frac{1}{17} \approx -7.058823529$$

$$y = \frac{970}{17} = 57\frac{1}{17} \approx 57.058823529$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$25x+110y=6100$$

Tynnu 110y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$25x=-110y+6100$$

Rhannu’r ddwy ochr â 25.

$$x=\frac{1}{25}\left(-110y+6100\right)$$

Lluoswch \frac{1}{25} â -110y+6100.

$$x=-\frac{22}{5}y+244$$

Amnewid -\frac{22y}{5}+244 am x yn yr hafaliad arall, x+y=50.

$$-\frac{22}{5}y+244+y=50$$

Adio -\frac{22y}{5} at y.

$$-\frac{17}{5}y+244=50$$

Tynnu 244 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{17}{5}y=-194$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{17}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{970}{17}$$

Cyfnewidiwch \frac{970}{17} am y yn x=-\frac{22}{5}y+244. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{22}{5}\times \frac{970}{17}+244$$

Lluoswch -\frac{22}{5} â \frac{970}{17} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{4268}{17}+244$$

Adio 244 at -\frac{4268}{17}.

$$x=-\frac{120}{17}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-110}&-\frac{110}{25-110}\\-\frac{1}{25-110}&\frac{25}{25-110}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{85}&\frac{22}{17}\\\frac{1}{85}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{85}\times 6100+\frac{22}{17}\times 50\\\frac{1}{85}\times 6100-\frac{5}{17}\times 50\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{120}{17}\\\frac{970}{17}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

I wneud 25x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 25.

$$25x+110y=6100,25x+25y=25\times 50$$

Symleiddio.

$$25x+110y=6100,25x+25y=1250$$

Tynnwch 25x+25y=1250 o 25x+110y=6100 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$25x-25x+110y-25y=6100-1250$$

Adio 25x at -25x. Mae'r termau 25x a -25x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$110y-25y=6100-1250$$

Adio 110y at -25y.

$$85y=6100-1250$$

Adio 6100 at -1250.

$$85y=4850$$

Rhannu’r ddwy ochr â 85.

$$y=\frac{970}{17}$$

Cyfnewidiwch \frac{970}{17} am y yn x+y=50. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x+\frac{970}{17}=50$$

Tynnu \frac{970}{17} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-\frac{120}{17}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$