Datrys {l}{21x+7y=42}{-5x+5y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 21 x + 7 y = 42 } \\ { - 5 x + 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$21x+7y=42$$

Tynnu 7y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$21x=-7y+42$$

Rhannu’r ddwy ochr â 21.

$$x=\frac{1}{21}\left(-7y+42\right)$$

Lluoswch \frac{1}{21} â -7y+42.

$$x=-\frac{1}{3}y+2$$

Amnewid -\frac{y}{3}+2 am x yn yr hafaliad arall, -5x+5y=10.

$$-5\left(-\frac{1}{3}y+2\right)+5y=10$$

Lluoswch -5 â -\frac{y}{3}+2.

$$\frac{5}{3}y-10+5y=10$$

Adio \frac{5y}{3} at 5y.

$$\frac{20}{3}y-10=10$$

Adio 10 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{20}{3}y=20$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{20}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn x=-\frac{1}{3}y+2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{3}\times 3+2$$

Lluoswch -\frac{1}{3} â 3.

$$x=-1+2$$

Adio 2 at -1.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21\times 5-7\left(-5\right)}&-\frac{7}{21\times 5-7\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{21\times 5-7\left(-5\right)}&\frac{21}{21\times 5-7\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{28}&-\frac{1}{20}\\\frac{1}{28}&\frac{3}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{28}\times 42-\frac{1}{20}\times 10\\\frac{1}{28}\times 42+\frac{3}{20}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

I wneud 21x a -5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -5 a holl dermau naill ochr yr ail â 21.

$$-5\times 21x-5\times 7y=-5\times 42,21\left(-5\right)x+21\times 5y=21\times 10$$

Symleiddio.

$$-105x-35y=-210,-105x+105y=210$$

Tynnwch -105x+105y=210 o -105x-35y=-210 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-105x+105x-35y-105y=-210-210$$

Adio -105x at 105x. Mae'r termau -105x a 105x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-35y-105y=-210-210$$

Adio -35y at -105y.

$$-140y=-210-210$$

Adio -210 at -210.

$$-140y=-420$$

Rhannu’r ddwy ochr â -140.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn -5x+5y=10. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-5x+5\times 3=10$$

Lluoswch 5 â 3.

$$-5x+15=10$$

Tynnu 15 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-5x=-5$$

Rhannu’r ddwy ochr â -5.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=3$$