Datrys {l}{20+x+y=115}{11x=8y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 20 + x + y = 115 } \\ { 11 x = 8 y } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=40$$

$$y=55$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 20 o'r ddwy ochr.

$$x+y=115-20$$

Tynnu 20 o 115 i gael 95.

$$x+y=95$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 8y o'r ddwy ochr.

$$11x-8y=0$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=95$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+95$$

Amnewid -y+95 am x yn yr hafaliad arall, 11x-8y=0.

$$11\left(-y+95\right)-8y=0$$

Lluoswch 11 â -y+95.

$$-11y+1045-8y=0$$

Adio -11y at -8y.

$$-19y+1045=0$$

Tynnu 1045 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-19y=-1045$$

Rhannu’r ddwy ochr â -19.

$$y=55$$

Cyfnewidiwch 55 am y yn x=-y+95. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-55+95$$

Adio 95 at -55.

$$x=40$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=40,y=55$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 20 o'r ddwy ochr.

$$x+y=115-20$$

Tynnu 20 o 115 i gael 95.

$$x+y=95$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 8y o'r ddwy ochr.

$$11x-8y=0$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-11}&-\frac{1}{-8-11}\\-\frac{11}{-8-11}&\frac{1}{-8-11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{11}{19}&-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\times 95\\\frac{11}{19}\times 95\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\55\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=40,y=55$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 20 o'r ddwy ochr.

$$x+y=115-20$$

Tynnu 20 o 115 i gael 95.

$$x+y=95$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 8y o'r ddwy ochr.

$$11x-8y=0$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

I wneud x a 11x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 11 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$11x+11y=11\times 95,11x-8y=0$$

Symleiddio.

$$11x+11y=1045,11x-8y=0$$

Tynnwch 11x-8y=0 o 11x+11y=1045 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$11x-11x+11y+8y=1045$$

Adio 11x at -11x. Mae'r termau 11x a -11x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$11y+8y=1045$$

Adio 11y at 8y.

$$19y=1045$$

Rhannu’r ddwy ochr â 19.

$$y=55$$

Cyfnewidiwch 55 am y yn 11x-8y=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$11x-8\times 55=0$$

Lluoswch -8 â 55.

$$11x-440=0$$

Adio 440 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$11x=440$$

Rhannu’r ddwy ochr â 11.

$$x=40$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=40,y=55$$