Datrys {l}{2y=3x-6}{5x+4y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 y = 3 x - 6 } \\ { 5 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer y, x

$$x = \frac{20}{11} = 1\frac{9}{11} \approx 1.818181818$$

$$y=-\frac{3}{11}\approx -0.272727273$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 3x o'r ddwy ochr.

$$2y-3x=-6$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer y drwy ynysu y ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2y-3x=-6$$

Adio 3x at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2y=3x-6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -6+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

Amnewid \frac{3x}{2}-3 am y yn yr hafaliad arall, 4y+5x=8.

$$4\left(\frac{3}{2}x-3\right)+5x=8$$

Lluoswch 4 â \frac{3x}{2}-3.

$$6x-12+5x=8$$

Adio 6x at 5x.

$$11x-12=8$$

Adio 12 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$11x=20$$

Rhannu’r ddwy ochr â 11.

$$x=\frac{20}{11}$$

Cyfnewidiwch \frac{20}{11} am x yn y=\frac{3}{2}x-3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=\frac{3}{2}\times \frac{20}{11}-3$$

Lluoswch \frac{3}{2} â \frac{20}{11} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$y=\frac{30}{11}-3$$

Adio -3 at \frac{30}{11}.

$$y=-\frac{3}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 3x o'r ddwy ochr.

$$2y-3x=-6$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}&\frac{3}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}\left(-6\right)+\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{2}{11}\left(-6\right)+\frac{1}{11}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}\\\frac{20}{11}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a x.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 3x o'r ddwy ochr.

$$2y-3x=-6$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

I wneud 2y a 4y yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$4\times 2y+4\left(-3\right)x=4\left(-6\right),2\times 4y+2\times 5x=2\times 8$$

Symleiddio.

$$8y-12x=-24,8y+10x=16$$

Tynnwch 8y+10x=16 o 8y-12x=-24 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$8y-8y-12x-10x=-24-16$$

Adio 8y at -8y. Mae'r termau 8y a -8y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-12x-10x=-24-16$$

Adio -12x at -10x.

$$-22x=-24-16$$

Adio -24 at -16.

$$-22x=-40$$

Rhannu’r ddwy ochr â -22.

$$x=\frac{20}{11}$$

Cyfnewidiwch \frac{20}{11} am x yn 4y+5x=8. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$4y+5\times \frac{20}{11}=8$$

Lluoswch 5 â \frac{20}{11}.

$$4y+\frac{100}{11}=8$$

Tynnu \frac{100}{11} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4y=-\frac{12}{11}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$y=-\frac{3}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$