Datrys {l}{2x-y=5}{-x=30-3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { - x = 30 - 3 y } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=9$$

$$y=13$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Ychwanegu 3y at y ddwy ochr.

$$-x+3y=30$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x-y=5$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=y+5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â y+5.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Amnewid \frac{5+y}{2} am x yn yr hafaliad arall, -x+3y=30.

$$-\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+3y=30$$

Lluoswch -1 â \frac{5+y}{2}.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}+3y=30$$

Adio -\frac{y}{2} at 3y.

$$\frac{5}{2}y-\frac{5}{2}=30$$

Adio \frac{5}{2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{5}{2}y=\frac{65}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{5}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=13$$

Cyfnewidiwch 13 am y yn x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{2}\times 13+\frac{5}{2}$$

Lluoswch \frac{1}{2} â 13.

$$x=\frac{13+5}{2}$$

Adio \frac{5}{2} at \frac{13}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=9$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=9,y=13$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Ychwanegu 3y at y ddwy ochr.

$$-x+3y=30$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 30\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 30\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=9,y=13$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Ychwanegu 3y at y ddwy ochr.

$$-x+3y=30$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

I wneud 2x a -x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -1 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$-2x-\left(-y\right)=-5,2\left(-1\right)x+2\times 3y=2\times 30$$

Symleiddio.

$$-2x+y=-5,-2x+6y=60$$

Tynnwch -2x+6y=60 o -2x+y=-5 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-2x+2x+y-6y=-5-60$$

Adio -2x at 2x. Mae'r termau -2x a 2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$y-6y=-5-60$$

Adio y at -6y.

$$-5y=-5-60$$

Adio -5 at -60.

$$-5y=-65$$

Rhannu’r ddwy ochr â -5.

$$y=13$$

Cyfnewidiwch 13 am y yn -x+3y=30. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-x+3\times 13=30$$

Lluoswch 3 â 13.

$$-x+39=30$$

Tynnu 39 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-x=-9$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$x=9$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=9,y=13$$