Datrys {l}{2x-y=4x-3}{2(x+y)=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 x - 3 } \\ { 2 ( x + y ) = 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 4x o'r ddwy ochr.

$$2x-y-4x=-3$$

Cyfuno 2x a -4x i gael -2x.

$$-2x-y=-3$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-2x-y=-3$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2x=y-3$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(y-3\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â y-3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Amnewid \frac{-y+3}{2} am x yn yr hafaliad arall, x+y=\frac{1}{2}.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=\frac{1}{2}$$

Adio -\frac{y}{2} at y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$$

Tynnu \frac{3}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{2}y=-1$$

Lluosi’r ddwy ochr â 2.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â -2.

$$x=1+\frac{3}{2}$$

Adio \frac{3}{2} at 1.

$$x=\frac{5}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 4x o'r ddwy ochr.

$$2x-y-4x=-3$$

Cyfuno 2x a -4x i gael -2x.

$$-2x-y=-3$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-3\right)-\frac{1}{2}\\-3+2\times \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\-2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 4x o'r ddwy ochr.

$$2x-y-4x=-3$$

Cyfuno 2x a -4x i gael -2x.

$$-2x-y=-3$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

I wneud -2x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â -2.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-2\times \frac{1}{2}$$

Symleiddio.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-1$$

Tynnwch -2x-2y=-1 o -2x-y=-3 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-2x+2x-y+2y=-3+1$$

Adio -2x at 2x. Mae'r termau -2x a 2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-y+2y=-3+1$$

Adio -y at 2y.

$$y=-3+1$$

Adio -3 at 1.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn x+y=\frac{1}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x-2=\frac{1}{2}$$

Adio 2 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=\frac{5}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$