Datrys {l}{2x-y=1}{3x-2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 1 } \\ { 3 x - 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-2$$

$$y=-5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x-y=1,3x-2y=4$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x-y=1$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=y+1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+1\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â y+1.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Amnewid \frac{1+y}{2} am x yn yr hafaliad arall, 3x-2y=4.

$$3\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)-2y=4$$

Lluoswch 3 â \frac{1+y}{2}.

$$\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}-2y=4$$

Adio \frac{3y}{2} at -2y.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=4$$

Tynnu \frac{3}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

Lluosi’r ddwy ochr â -2.

$$y=-5$$

Cyfnewidiwch -5 am y yn x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{1}{2}$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -5.

$$x=\frac{-5+1}{2}$$

Adio \frac{1}{2} at -\frac{5}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-2,y=-5$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x-y=1,3x-2y=4$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-4\\3-2\times 4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-5\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-2,y=-5$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x-y=1,3x-2y=4$$

I wneud 2x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 4$$

Symleiddio.

$$6x-3y=3,6x-4y=8$$

Tynnwch 6x-4y=8 o 6x-3y=3 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x-3y+4y=3-8$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-3y+4y=3-8$$

Adio -3y at 4y.

$$y=3-8$$

Adio 3 at -8.

$$y=-5$$

Cyfnewidiwch -5 am y yn 3x-2y=4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x-2\left(-5\right)=4$$

Lluoswch -2 â -5.

$$3x+10=4$$

Tynnu 10 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=-2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-2,y=-5$$