Datrys {l}{2x-3y=5}{4x+y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 5 } \\ { 4 x + y = 3 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x-3y=5,4x+y=3$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x-3y=5$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=3y+5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â 3y+5.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Amnewid \frac{3y+5}{2} am x yn yr hafaliad arall, 4x+y=3.

$$4\left(\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+y=3$$

Lluoswch 4 â \frac{3y+5}{2}.

$$6y+10+y=3$$

Adio 6y at y.

$$7y+10=3$$

Tynnu 10 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$7y=-7$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$y=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am y yn x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{3}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

Lluoswch \frac{3}{2} â -1.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

Adio \frac{5}{2} at -\frac{3}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x-3y=5,4x+y=3$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 5+\frac{3}{14}\times 3\\-\frac{2}{7}\times 5+\frac{1}{7}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x-3y=5,4x+y=3$$

I wneud 2x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\times 5,2\times 4x+2y=2\times 3$$

Symleiddio.

$$8x-12y=20,8x+2y=6$$

Tynnwch 8x+2y=6 o 8x-12y=20 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$8x-8x-12y-2y=20-6$$

Adio 8x at -8x. Mae'r termau 8x a -8x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-12y-2y=20-6$$

Adio -12y at -2y.

$$-14y=20-6$$

Adio 20 at -6.

$$-14y=14$$

Rhannu’r ddwy ochr â -14.

$$y=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am y yn 4x+y=3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x-1=3$$

Adio 1 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=4$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=-1$$