Datrys {l}{2x-3y=5}{-4x-9y=19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 5 } \\ { - 4 x - 9 y = 19 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$y = -\frac{29}{15} = -1\frac{14}{15} \approx -1.933333333$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x-3y=5,-4x-9y=19$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x-3y=5$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=3y+5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â 3y+5.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Amnewid \frac{3y+5}{2} am x yn yr hafaliad arall, -4x-9y=19.

$$-4\left(\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-9y=19$$

Lluoswch -4 â \frac{3y+5}{2}.

$$-6y-10-9y=19$$

Adio -6y at -9y.

$$-15y-10=19$$

Adio 10 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-15y=29$$

Rhannu’r ddwy ochr â -15.

$$y=-\frac{29}{15}$$

Cyfnewidiwch -\frac{29}{15} am y yn x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{29}{15}\right)+\frac{5}{2}$$

Lluoswch \frac{3}{2} â -\frac{29}{15} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{29}{10}+\frac{5}{2}$$

Adio \frac{5}{2} at -\frac{29}{10} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{2}{5},y=-\frac{29}{15}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x-3y=5,-4x-9y=19$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&-3\\-4&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{2\left(-9\right)-\left(-3\left(-4\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-9\right)-\left(-3\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{2\left(-9\right)-\left(-3\left(-4\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-9\right)-\left(-3\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\\-\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 5-\frac{1}{10}\times 19\\-\frac{2}{15}\times 5-\frac{1}{15}\times 19\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\\-\frac{29}{15}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{2}{5},y=-\frac{29}{15}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x-3y=5,-4x-9y=19$$

I wneud 2x a -4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -4 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$-4\times 2x-4\left(-3\right)y=-4\times 5,2\left(-4\right)x+2\left(-9\right)y=2\times 19$$

Symleiddio.

$$-8x+12y=-20,-8x-18y=38$$

Tynnwch -8x-18y=38 o -8x+12y=-20 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-8x+8x+12y+18y=-20-38$$

Adio -8x at 8x. Mae'r termau -8x a 8x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$12y+18y=-20-38$$

Adio 12y at 18y.

$$30y=-20-38$$

Adio -20 at -38.

$$30y=-58$$

Rhannu’r ddwy ochr â 30.

$$y=-\frac{29}{15}$$

Cyfnewidiwch -\frac{29}{15} am y yn -4x-9y=19. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-4x-9\left(-\frac{29}{15}\right)=19$$

Lluoswch -9 â -\frac{29}{15}.

$$-4x+\frac{87}{5}=19$$

Tynnu \frac{87}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-4x=\frac{8}{5}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{2}{5},y=-\frac{29}{15}$$