Datrys {l}{2x-3y=1}{3x+5y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 1 } \\ { 3 x + 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{8}{19}\approx 0.421052632$$

$$y=-\frac{1}{19}\approx -0.052631579$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x-3y=1$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=3y+1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+1\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â 3y+1.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

Amnewid \frac{3y+1}{2} am x yn yr hafaliad arall, 3x+5y=1.

$$3\left(\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)+5y=1$$

Lluoswch 3 â \frac{3y+1}{2}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}+5y=1$$

Adio \frac{9y}{2} at 5y.

$$\frac{19}{2}y+\frac{3}{2}=1$$

Tynnu \frac{3}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{19}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{19}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{1}{19}$$

Cyfnewidiwch -\frac{1}{19} am y yn x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{19}\right)+\frac{1}{2}$$

Lluoswch \frac{3}{2} â -\frac{1}{19} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{3}{38}+\frac{1}{2}$$

Adio \frac{1}{2} at -\frac{3}{38} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{8}{19}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5+3}{19}\\\frac{-3+2}{19}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\\-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

I wneud 2x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3,2\times 3x+2\times 5y=2$$

Symleiddio.

$$6x-9y=3,6x+10y=2$$

Tynnwch 6x+10y=2 o 6x-9y=3 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x-9y-10y=3-2$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-9y-10y=3-2$$

Adio -9y at -10y.

$$-19y=3-2$$

Adio 3 at -2.

$$-19y=1$$

Rhannu’r ddwy ochr â -19.

$$y=-\frac{1}{19}$$

Cyfnewidiwch -\frac{1}{19} am y yn 3x+5y=1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+5\left(-\frac{1}{19}\right)=1$$

Lluoswch 5 â -\frac{1}{19}.

$$3x-\frac{5}{19}=1$$

Adio \frac{5}{19} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=\frac{24}{19}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{8}{19}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$