Datrys {l}{2x-3y=-6}{-5x+2y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = - 6 } \\ { - 5 x + 2 y = 15 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-3$$

$$y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x-3y=-6,-5x+2y=15$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x-3y=-6$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=3y-6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-6\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -6+3y.

$$x=\frac{3}{2}y-3$$

Amnewid \frac{3y}{2}-3 am x yn yr hafaliad arall, -5x+2y=15.

$$-5\left(\frac{3}{2}y-3\right)+2y=15$$

Lluoswch -5 â \frac{3y}{2}-3.

$$-\frac{15}{2}y+15+2y=15$$

Adio -\frac{15y}{2} at 2y.

$$-\frac{11}{2}y+15=15$$

Tynnu 15 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{11}{2}y=0$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{11}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn x=\frac{3}{2}y-3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-3,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x-3y=-6,-5x+2y=15$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\15\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&-3\\-5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\15\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\15\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\15\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{2\times 2-\left(-3\left(-5\right)\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\15\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{5}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\15\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\left(-6\right)-\frac{3}{11}\times 15\\-\frac{5}{11}\left(-6\right)-\frac{2}{11}\times 15\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-3,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x-3y=-6,-5x+2y=15$$

I wneud 2x a -5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -5 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$-5\times 2x-5\left(-3\right)y=-5\left(-6\right),2\left(-5\right)x+2\times 2y=2\times 15$$

Symleiddio.

$$-10x+15y=30,-10x+4y=30$$

Tynnwch -10x+4y=30 o -10x+15y=30 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-10x+10x+15y-4y=30-30$$

Adio -10x at 10x. Mae'r termau -10x a 10x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$15y-4y=30-30$$

Adio 15y at -4y.

$$11y=30-30$$

Adio 30 at -30.

$$11y=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â 11.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn -5x+2y=15. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-5x=15$$

Rhannu’r ddwy ochr â -5.

$$x=-3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-3,y=0$$