Datrys {l}{2x+y=55}{x+y=65}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 55 } \\ { x + y = 65 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-10$$

$$y=75$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+y=55,x+y=65$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+y=55$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-y+55$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+55\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -y+55.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{55}{2}$$

Amnewid \frac{-y+55}{2} am x yn yr hafaliad arall, x+y=65.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{55}{2}+y=65$$

Adio -\frac{y}{2} at y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{55}{2}=65$$

Tynnu \frac{55}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{2}y=\frac{75}{2}$$

Lluosi’r ddwy ochr â 2.

$$y=75$$

Cyfnewidiwch 75 am y yn x=-\frac{1}{2}y+\frac{55}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{2}\times 75+\frac{55}{2}$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â 75.

$$x=\frac{-75+55}{2}$$

Adio \frac{55}{2} at -\frac{75}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-10$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-10,y=75$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+y=55,x+y=65$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55\\65\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\65\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\65\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\65\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\65\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\65\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55-65\\-55+2\times 65\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\75\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-10,y=75$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+y=55,x+y=65$$

Tynnwch x+y=65 o 2x+y=55 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x-x+y-y=55-65$$

Adio y at -y. Mae'r termau y a -y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2x-x=55-65$$

Adio 2x at -x.

$$x=55-65$$

Adio 55 at -65.

$$x=-10$$

Cyfnewidiwch -10 am x yn x+y=65. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$-10+y=65$$

Adio 10 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=75$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-10,y=75$$