Datrys {l}{2x+y=4}{3x+2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 4 } \\ { 3 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=4$$

$$y=-4$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+y=4,3x+2y=4$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+y=4$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-y+4$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+4\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -y+4.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

Amnewid -\frac{y}{2}+2 am x yn yr hafaliad arall, 3x+2y=4.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+2\right)+2y=4$$

Lluoswch 3 â -\frac{y}{2}+2.

$$-\frac{3}{2}y+6+2y=4$$

Adio -\frac{3y}{2} at 2y.

$$\frac{1}{2}y+6=4$$

Tynnu 6 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{2}y=-2$$

Lluosi’r ddwy ochr â 2.

$$y=-4$$

Cyfnewidiwch -4 am y yn x=-\frac{1}{2}y+2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4\right)+2$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â -4.

$$x=2+2$$

Adio 2 at 2.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=-4$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+y=4,3x+2y=4$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 4-4\\-3\times 4+2\times 4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=4,y=-4$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+y=4,3x+2y=4$$

I wneud 2x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$3\times 2x+3y=3\times 4,2\times 3x+2\times 2y=2\times 4$$

Symleiddio.

$$6x+3y=12,6x+4y=8$$

Tynnwch 6x+4y=8 o 6x+3y=12 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x+3y-4y=12-8$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$3y-4y=12-8$$

Adio 3y at -4y.

$$-y=12-8$$

Adio 12 at -8.

$$-y=4$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$y=-4$$

Cyfnewidiwch -4 am y yn 3x+2y=4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+2\left(-4\right)=4$$

Lluoswch 2 â -4.

$$3x-8=4$$

Adio 8 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=12$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=-4$$