Datrys {l}{2x+y=3}{4x+5y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { 4 x + 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

$$y = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+y=3,4x+5y=1$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+y=3$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-y+3$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Amnewid \frac{-y+3}{2} am x yn yr hafaliad arall, 4x+5y=1.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+5y=1$$

Lluoswch 4 â \frac{-y+3}{2}.

$$-2y+6+5y=1$$

Adio -2y at 5y.

$$3y+6=1$$

Tynnu 6 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3y=-5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$y=-\frac{5}{3}$$

Cyfnewidiwch -\frac{5}{3} am y yn x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{3}\right)+\frac{3}{2}$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â -\frac{5}{3} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{5}{6}+\frac{3}{2}$$

Adio \frac{3}{2} at \frac{5}{6} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{7}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{5}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+y=3,4x+5y=1$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-4}&-\frac{1}{2\times 5-4}\\-\frac{4}{2\times 5-4}&\frac{2}{2\times 5-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\times 3-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{3}\times 3+\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\\-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{5}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+y=3,4x+5y=1$$

I wneud 2x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$4\times 2x+4y=4\times 3,2\times 4x+2\times 5y=2$$

Symleiddio.

$$8x+4y=12,8x+10y=2$$

Tynnwch 8x+10y=2 o 8x+4y=12 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$8x-8x+4y-10y=12-2$$

Adio 8x at -8x. Mae'r termau 8x a -8x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$4y-10y=12-2$$

Adio 4y at -10y.

$$-6y=12-2$$

Adio 12 at -2.

$$-6y=10$$

Rhannu’r ddwy ochr â -6.

$$y=-\frac{5}{3}$$

Cyfnewidiwch -\frac{5}{3} am y yn 4x+5y=1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x+5\left(-\frac{5}{3}\right)=1$$

Lluoswch 5 â -\frac{5}{3}.

$$4x-\frac{25}{3}=1$$

Adio \frac{25}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=\frac{28}{3}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{7}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{5}{3}$$