Datrys {l}{2x+y=0}{3x+8y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 0 } \\ { 3 x + 8 y = 7 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-\frac{7}{13}\approx -0.538461538$$

$$y = \frac{14}{13} = 1\frac{1}{13} \approx 1.076923077$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+y=0,3x+8y=7$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+y=0$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-y$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)y$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -y.

$$x=-\frac{1}{2}y$$

Amnewid -\frac{y}{2} am x yn yr hafaliad arall, 3x+8y=7.

$$3\left(-\frac{1}{2}\right)y+8y=7$$

Lluoswch 3 â -\frac{y}{2}.

$$-\frac{3}{2}y+8y=7$$

Adio -\frac{3y}{2} at 8y.

$$\frac{13}{2}y=7$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{13}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{14}{13}$$

Cyfnewidiwch \frac{14}{13} am y yn x=-\frac{1}{2}y. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{14}{13}$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â \frac{14}{13} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{7}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{7}{13},y=\frac{14}{13}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+y=0,3x+8y=7$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&1\\3&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-3}&-\frac{1}{2\times 8-3}\\-\frac{3}{2\times 8-3}&\frac{2}{2\times 8-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{13}&-\frac{1}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 7\\\frac{2}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{13}\\\frac{14}{13}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{7}{13},y=\frac{14}{13}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+y=0,3x+8y=7$$

I wneud 2x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$3\times 2x+3y=0,2\times 3x+2\times 8y=2\times 7$$

Symleiddio.

$$6x+3y=0,6x+16y=14$$

Tynnwch 6x+16y=14 o 6x+3y=0 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x+3y-16y=-14$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$3y-16y=-14$$

Adio 3y at -16y.

$$-13y=-14$$

Rhannu’r ddwy ochr â -13.

$$y=\frac{14}{13}$$

Cyfnewidiwch \frac{14}{13} am y yn 3x+8y=7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+8\times \frac{14}{13}=7$$

Lluoswch 8 â \frac{14}{13}.

$$3x+\frac{112}{13}=7$$

Tynnu \frac{112}{13} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-\frac{21}{13}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=-\frac{7}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{7}{13},y=\frac{14}{13}$$