Datrys {l}{2x+y=-6}{y=1/4x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 4 } x + 3 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-4$$

$$y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu \frac{1}{4}x o'r ddwy ochr.

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+y=-6$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-y-6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-6\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -y-6.

$$x=-\frac{1}{2}y-3$$

Amnewid -\frac{y}{2}-3 am x yn yr hafaliad arall, -\frac{1}{4}x+y=3.

$$-\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2}y-3\right)+y=3$$

Lluoswch -\frac{1}{4} â -\frac{y}{2}-3.

$$\frac{1}{8}y+\frac{3}{4}+y=3$$

Adio \frac{y}{8} at y.

$$\frac{9}{8}y+\frac{3}{4}=3$$

Tynnu \frac{3}{4} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{9}{8}y=\frac{9}{4}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{9}{8}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn x=-\frac{1}{2}y-3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2-3$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â 2.

$$x=-1-3$$

Adio -3 at -1.

$$x=-4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-4,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu \frac{1}{4}x o'r ddwy ochr.

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}&-\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{1}{4}}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}&\frac{2}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}&-\frac{4}{9}\\\frac{1}{9}&\frac{8}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\left(-6\right)-\frac{4}{9}\times 3\\\frac{1}{9}\left(-6\right)+\frac{8}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-4,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu \frac{1}{4}x o'r ddwy ochr.

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

Tynnwch -\frac{1}{4}x+y=3 o 2x+y=-6 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x+\frac{1}{4}x+y-y=-6-3$$

Adio y at -y. Mae'r termau y a -y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2x+\frac{1}{4}x=-6-3$$

Adio 2x at \frac{x}{4}.

$$\frac{9}{4}x=-6-3$$

Adio -6 at -3.

$$\frac{9}{4}x=-9$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{9}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=-4$$

Cyfnewidiwch -4 am x yn -\frac{1}{4}x+y=3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$-\frac{1}{4}\left(-4\right)+y=3$$

Lluoswch -\frac{1}{4} â -4.

$$1+y=3$$

Tynnu 1 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-4,y=2$$