Datrys {l}{2x+5y=1}{-2x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 1 } \\ { - 2 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-2$$

$$y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+5y=1,-2x+y=5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+5y=1$$

Tynnu 5y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-5y+1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+1\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -5y+1.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}$$

Amnewid \frac{-5y+1}{2} am x yn yr hafaliad arall, -2x+y=5.

$$-2\left(-\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}\right)+y=5$$

Lluoswch -2 â \frac{-5y+1}{2}.

$$5y-1+y=5$$

Adio 5y at y.

$$6y-1=5$$

Adio 1 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$6y=6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn x=-\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{-5+1}{2}$$

Adio \frac{1}{2} at -\frac{5}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-2,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+5y=1,-2x+y=5$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{2-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2-5\left(-2\right)}&\frac{2}{2-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&-\frac{5}{12}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}-\frac{5}{12}\times 5\\\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-2,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+5y=1,-2x+y=5$$

I wneud 2x a -2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -2 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$-2\times 2x-2\times 5y=-2,2\left(-2\right)x+2y=2\times 5$$

Symleiddio.

$$-4x-10y=-2,-4x+2y=10$$

Tynnwch -4x+2y=10 o -4x-10y=-2 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-4x+4x-10y-2y=-2-10$$

Adio -4x at 4x. Mae'r termau -4x a 4x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-10y-2y=-2-10$$

Adio -10y at -2y.

$$-12y=-2-10$$

Adio -2 at -10.

$$-12y=-12$$

Rhannu’r ddwy ochr â -12.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn -2x+y=5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-2x+1=5$$

Tynnu 1 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2x=4$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$x=-2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-2,y=1$$