Datrys {l}{2x+4y=12}{5x-8y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 12 } \\ { 5 x - 8 y = 16 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9} \approx 4.444444444$$

$$y=\frac{7}{9}\approx 0.777777778$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+4y=12$$

Tynnu 4y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-4y+12$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+12\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -4y+12.

$$x=-2y+6$$

Amnewid -2y+6 am x yn yr hafaliad arall, 5x-8y=16.

$$5\left(-2y+6\right)-8y=16$$

Lluoswch 5 â -2y+6.

$$-10y+30-8y=16$$

Adio -10y at -8y.

$$-18y+30=16$$

Tynnu 30 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-18y=-14$$

Rhannu’r ddwy ochr â -18.

$$y=\frac{7}{9}$$

Cyfnewidiwch \frac{7}{9} am y yn x=-2y+6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-2\times \frac{7}{9}+6$$

Lluoswch -2 â \frac{7}{9}.

$$x=-\frac{14}{9}+6$$

Adio 6 at -\frac{14}{9}.

$$x=\frac{40}{9}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{2\left(-8\right)-4\times 5}&-\frac{4}{2\left(-8\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-8\right)-4\times 5}&\frac{2}{2\left(-8\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{36}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 12+\frac{1}{9}\times 16\\\frac{5}{36}\times 12-\frac{1}{18}\times 16\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{9}\\\frac{7}{9}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

I wneud 2x a 5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 12,2\times 5x+2\left(-8\right)y=2\times 16$$

Symleiddio.

$$10x+20y=60,10x-16y=32$$

Tynnwch 10x-16y=32 o 10x+20y=60 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$10x-10x+20y+16y=60-32$$

Adio 10x at -10x. Mae'r termau 10x a -10x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$20y+16y=60-32$$

Adio 20y at 16y.

$$36y=60-32$$

Adio 60 at -32.

$$36y=28$$

Rhannu’r ddwy ochr â 36.

$$y=\frac{7}{9}$$

Cyfnewidiwch \frac{7}{9} am y yn 5x-8y=16. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$5x-8\times \frac{7}{9}=16$$

Lluoswch -8 â \frac{7}{9}.

$$5x-\frac{56}{9}=16$$

Adio \frac{56}{9} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=\frac{200}{9}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{40}{9}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$