Datrys {l}{2x+4y=1}{2x-6y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 1 } \\ { 2 x - 6 y = - 4 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+4y=1,2x-6y=-4$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+4y=1$$

Tynnu 4y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-4y+1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+1\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -4y+1.

$$x=-2y+\frac{1}{2}$$

Amnewid -2y+\frac{1}{2} am x yn yr hafaliad arall, 2x-6y=-4.

$$2\left(-2y+\frac{1}{2}\right)-6y=-4$$

Lluoswch 2 â -2y+\frac{1}{2}.

$$-4y+1-6y=-4$$

Adio -4y at -6y.

$$-10y+1=-4$$

Tynnu 1 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-10y=-5$$

Rhannu’r ddwy ochr â -10.

$$y=\frac{1}{2}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{2} am y yn x=-2y+\frac{1}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-2\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}$$

Lluoswch -2 â \frac{1}{2}.

$$x=-1+\frac{1}{2}$$

Adio \frac{1}{2} at -1.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+4y=1,2x-6y=-4$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-4\times 2}&-\frac{4}{2\left(-6\right)-4\times 2}\\-\frac{2}{2\left(-6\right)-4\times 2}&\frac{2}{2\left(-6\right)-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}+\frac{1}{5}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}-\frac{1}{10}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+4y=1,2x-6y=-4$$

Tynnwch 2x-6y=-4 o 2x+4y=1 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x-2x+4y+6y=1+4$$

Adio 2x at -2x. Mae'r termau 2x a -2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$4y+6y=1+4$$

Adio 4y at 6y.

$$10y=1+4$$

Adio 1 at 4.

$$10y=5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 10.

$$y=\frac{1}{2}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{2} am y yn 2x-6y=-4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x-6\times \frac{1}{2}=-4$$

Lluoswch -6 â \frac{1}{2}.

$$2x-3=-4$$

Adio 3 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$