Datrys {l}{2x+2y=10}{1/2x+3/4y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 10 } \\ { \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 3 } { 4 } y = 20 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-65$$

$$y=70$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+2y=10$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-2y+10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+10\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -2y+10.

$$x=-y+5$$

Amnewid -y+5 am x yn yr hafaliad arall, \frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20.

$$\frac{1}{2}\left(-y+5\right)+\frac{3}{4}y=20$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -y+5.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}+\frac{3}{4}y=20$$

Adio -\frac{y}{2} at \frac{3y}{4}.

$$\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}=20$$

Tynnu \frac{5}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{4}y=\frac{35}{2}$$

Lluosi’r ddwy ochr â 4.

$$y=70$$

Cyfnewidiwch 70 am y yn x=-y+5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-70+5$$

Adio 5 at -70.

$$x=-65$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-65,y=70$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{3}{4}}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}&-\frac{2}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}&\frac{2}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-4\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 10-4\times 20\\-10+4\times 20\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\70\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-65,y=70$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

I wneud 2x a \frac{x}{2} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â \frac{1}{2} a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$\frac{1}{2}\times 2x+\frac{1}{2}\times 2y=\frac{1}{2}\times 10,2\times \frac{1}{2}x+2\times \frac{3}{4}y=2\times 20$$

Symleiddio.

$$x+y=5,x+\frac{3}{2}y=40$$

Tynnwch x+\frac{3}{2}y=40 o x+y=5 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$x-x+y-\frac{3}{2}y=5-40$$

Adio x at -x. Mae'r termau x a -x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$y-\frac{3}{2}y=5-40$$

Adio y at -\frac{3y}{2}.

$$-\frac{1}{2}y=5-40$$

Adio 5 at -40.

$$-\frac{1}{2}y=-35$$

Lluosi’r ddwy ochr â -2.

$$y=70$$

Cyfnewidiwch 70 am y yn \frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}\times 70=20$$

Lluoswch \frac{3}{4} â 70.

$$\frac{1}{2}x+\frac{105}{2}=20$$

Tynnu \frac{105}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{65}{2}$$

Lluosi’r ddwy ochr â 2.

$$x=-65$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-65,y=70$$