Datrys {l}{2p+3x=10}{p-x+2=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 x = 10 } \\ { p - x + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer p, x

$$x = \frac{14}{5} = 2\frac{4}{5} = 2.8$$

$$p=\frac{4}{5}=0.8$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer p drwy ynysu p ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2p+3x=10$$

Tynnu 3x o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2p=-3x+10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$p=\frac{1}{2}\left(-3x+10\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -3x+10.

$$p=-\frac{3}{2}x+5$$

Amnewid -\frac{3x}{2}+5 am p yn yr hafaliad arall, p-x+2=0.

$$-\frac{3}{2}x+5-x+2=0$$

Adio -\frac{3x}{2} at -x.

$$-\frac{5}{2}x+5+2=0$$

Adio 5 at 2.

$$-\frac{5}{2}x+7=0$$

Tynnu 7 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{5}{2}x=-7$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{5}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=\frac{14}{5}$$

Cyfnewidiwch \frac{14}{5} am x yn p=-\frac{3}{2}x+5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer p yn uniongyrchol.

$$p=-\frac{3}{2}\times \frac{14}{5}+5$$

Lluoswch -\frac{3}{2} â \frac{14}{5} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$p=-\frac{21}{5}+5$$

Adio 5 at -\frac{21}{5}.

$$p=\frac{4}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 10+\frac{3}{5}\left(-2\right)\\\frac{1}{5}\times 10-\frac{2}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{14}{5}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics p a x.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

I wneud 2p a p yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$2p+3x=10,2p+2\left(-1\right)x+2\times 2=0$$

Symleiddio.

$$2p+3x=10,2p-2x+4=0$$

Tynnwch 2p-2x+4=0 o 2p+3x=10 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2p-2p+3x+2x-4=10$$

Adio 2p at -2p. Mae'r termau 2p a -2p yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$3x+2x-4=10$$

Adio 3x at 2x.

$$5x-4=10$$

Adio 4 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=14$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{14}{5}$$

Cyfnewidiwch \frac{14}{5} am x yn p-x+2=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer p yn uniongyrchol.

$$p-\frac{14}{5}+2=0$$

Adio -\frac{14}{5} at 2.

$$p-\frac{4}{5}=0$$

Adio \frac{4}{5} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$p=\frac{4}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$