Datrys {l}{2a+3b=4}{-2a+3b=-16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 4 } \\ { - 2 a + 3 b = - 16 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer a, b

$$a=5$$

$$b=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer a drwy ynysu a ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2a+3b=4$$

Tynnu 3b o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2a=-3b+4$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-3b+4\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -3b+4.

$$a=-\frac{3}{2}b+2$$

Amnewid -\frac{3b}{2}+2 am a yn yr hafaliad arall, -2a+3b=-16.

$$-2\left(-\frac{3}{2}b+2\right)+3b=-16$$

Lluoswch -2 â -\frac{3b}{2}+2.

$$3b-4+3b=-16$$

Adio 3b at 3b.

$$6b-4=-16$$

Adio 4 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$6b=-12$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$b=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am b yn a=-\frac{3}{2}b+2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$a=-\frac{3}{2}\left(-2\right)+2$$

Lluoswch -\frac{3}{2} â -2.

$$a=3+2$$

Adio 2 at 3.

$$a=5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=5,b=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-3\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{4}\left(-16\right)\\\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics a a b.

$$a=5,b=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

Tynnwch -2a+3b=-16 o 2a+3b=4 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2a+2a+3b-3b=4+16$$

Adio 3b at -3b. Mae'r termau 3b a -3b yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2a+2a=4+16$$

Adio 2a at 2a.

$$4a=4+16$$

Adio 4 at 16.

$$4a=20$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$a=5$$

Cyfnewidiwch 5 am a yn -2a+3b=-16. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer b yn uniongyrchol.

$$-2\times 5+3b=-16$$

Lluoswch -2 â 5.

$$-10+3b=-16$$

Adio 10 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3b=-6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$b=-2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=5,b=-2$$