Datrys {l}{2(x+3)=3(y+1)+1}{3(x-y-1)=2(x-2)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 3 ) = 3 ( y + 1 ) + 1 } \\ { 3 ( x - y - 1 ) = 2 ( x - 2 ) } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-1$$

$$y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â x+3.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â y+1.

$$2x+6=3y+3+1$$

Adio 3 a 1 i gael 4.

$$2x+6=3y+4$$

Tynnu 3y o'r ddwy ochr.

$$2x+6-3y=4$$

Tynnu 6 o'r ddwy ochr.

$$2x-3y=4-6$$

Tynnu 6 o 4 i gael -2.

$$2x-3y=-2$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â x-y-1.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â x-2.

$$3x-3y-3=2x-4$$

Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$3x-3y-3-2x=-4$$

Cyfuno 3x a -2x i gael x.

$$x-3y-3=-4$$

Ychwanegu 3 at y ddwy ochr.

$$x-3y=-4+3$$

Adio -4 a 3 i gael -1.

$$x-3y=-1$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x-3y=-2,x-3y=-1$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x-3y=-2$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=3y-2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â 3y-2.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

Amnewid \frac{3y}{2}-1 am x yn yr hafaliad arall, x-3y=-1.

$$\frac{3}{2}y-1-3y=-1$$

Adio \frac{3y}{2} at -3y.

$$-\frac{3}{2}y-1=-1$$

Adio 1 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{3}{2}y=0$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{3}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn x=\frac{3}{2}y-1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-1,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â x+3.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â y+1.

$$2x+6=3y+3+1$$

Adio 3 a 1 i gael 4.

$$2x+6=3y+4$$

Tynnu 3y o'r ddwy ochr.

$$2x+6-3y=4$$

Tynnu 6 o'r ddwy ochr.

$$2x-3y=4-6$$

Tynnu 6 o 4 i gael -2.

$$2x-3y=-2$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â x-y-1.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â x-2.

$$3x-3y-3=2x-4$$

Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$3x-3y-3-2x=-4$$

Cyfuno 3x a -2x i gael x.

$$x-3y-3=-4$$

Ychwanegu 3 at y ddwy ochr.

$$x-3y=-4+3$$

Adio -4 a 3 i gael -1.

$$x-3y=-1$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x-3y=-2,x-3y=-1$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2-\left(-1\right)\\\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-1,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â x+3.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â y+1.

$$2x+6=3y+3+1$$

Adio 3 a 1 i gael 4.

$$2x+6=3y+4$$

Tynnu 3y o'r ddwy ochr.

$$2x+6-3y=4$$

Tynnu 6 o'r ddwy ochr.

$$2x-3y=4-6$$

Tynnu 6 o 4 i gael -2.

$$2x-3y=-2$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â x-y-1.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â x-2.

$$3x-3y-3=2x-4$$

Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$3x-3y-3-2x=-4$$

Cyfuno 3x a -2x i gael x.

$$x-3y-3=-4$$

Ychwanegu 3 at y ddwy ochr.

$$x-3y=-4+3$$

Adio -4 a 3 i gael -1.

$$x-3y=-1$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x-3y=-2,x-3y=-1$$

Tynnwch x-3y=-1 o 2x-3y=-2 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x-x-3y+3y=-2+1$$

Adio -3y at 3y. Mae'r termau -3y a 3y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2x-x=-2+1$$

Adio 2x at -x.

$$x=-2+1$$

Adio -2 at 1.

$$x=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am x yn x-3y=-1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$-1-3y=-1$$

Adio 1 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3y=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-1,y=0$$