Datrys {l}{2(3x-4)+3y=31}{x/2-y/5=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 3 x - 4 ) + 3 y = 31 } \\ { \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 5 } = 5 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{76}{9} = 8\frac{4}{9} \approx 8.444444444$$

$$y = -\frac{35}{9} = -3\frac{8}{9} \approx -3.888888889$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â 3x-4.

$$6x-8+3y=31$$

Ychwanegu 8 at y ddwy ochr.

$$6x+3y=31+8$$

Adio 31 a 8 i gael 39.

$$6x+3y=39$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 10, lluoswm cyffredin lleiaf 2,5.

$$5x-2y=50$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$6x+3y=39$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$6x=-3y+39$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+39\right)$$

Lluoswch \frac{1}{6} â -3y+39.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}$$

Amnewid \frac{-y+13}{2} am x yn yr hafaliad arall, 5x-2y=50.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}\right)-2y=50$$

Lluoswch 5 â \frac{-y+13}{2}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{65}{2}-2y=50$$

Adio -\frac{5y}{2} at -2y.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{65}{2}=50$$

Tynnu \frac{65}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{35}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{9}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{35}{9}$$

Cyfnewidiwch -\frac{35}{9} am y yn x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{35}{9}\right)+\frac{13}{2}$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â -\frac{35}{9} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{35}{18}+\frac{13}{2}$$

Adio \frac{13}{2} at \frac{35}{18} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{76}{9}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â 3x-4.

$$6x-8+3y=31$$

Ychwanegu 8 at y ddwy ochr.

$$6x+3y=31+8$$

Adio 31 a 8 i gael 39.

$$6x+3y=39$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 10, lluoswm cyffredin lleiaf 2,5.

$$5x-2y=50$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{6\left(-2\right)-3\times 5}&-\frac{3}{6\left(-2\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{6\left(-2\right)-3\times 5}&\frac{6}{6\left(-2\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 39+\frac{1}{9}\times 50\\\frac{5}{27}\times 39-\frac{2}{9}\times 50\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{76}{9}\\-\frac{35}{9}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â 3x-4.

$$6x-8+3y=31$$

Ychwanegu 8 at y ddwy ochr.

$$6x+3y=31+8$$

Adio 31 a 8 i gael 39.

$$6x+3y=39$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 10, lluoswm cyffredin lleiaf 2,5.

$$5x-2y=50$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

I wneud 6x a 5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 6.

$$5\times 6x+5\times 3y=5\times 39,6\times 5x+6\left(-2\right)y=6\times 50$$

Symleiddio.

$$30x+15y=195,30x-12y=300$$

Tynnwch 30x-12y=300 o 30x+15y=195 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$30x-30x+15y+12y=195-300$$

Adio 30x at -30x. Mae'r termau 30x a -30x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$15y+12y=195-300$$

Adio 15y at 12y.

$$27y=195-300$$

Adio 195 at -300.

$$27y=-105$$

Rhannu’r ddwy ochr â 27.

$$y=-\frac{35}{9}$$

Cyfnewidiwch -\frac{35}{9} am y yn 5x-2y=50. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$5x-2\left(-\frac{35}{9}\right)=50$$

Lluoswch -2 â -\frac{35}{9}.

$$5x+\frac{70}{9}=50$$

Tynnu \frac{70}{9} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=\frac{380}{9}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{76}{9}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$