Datrys {l}{2(2x-3)+3(y+4)=7}{4(x+2)-5(2-y)=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 2 x - 3 ) + 3 ( y + 4 ) = 7 } \\ { 4 ( x + 2 ) - 5 ( 2 - y ) = - 3 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

Lluoswch 2 â 2x-3.

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

Lluoswch 3 â y+4.

$$4x-6+3y+12=7$$

Adio -6 at 12.

$$4x+3y+6=7$$

Tynnu 6 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x+3y=1$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-3y+1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+1\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -3y+1.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

Amnewid \frac{-3y+1}{4} am x yn yr hafaliad arall, 4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3.

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Adio \frac{1}{4} at 2.

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Lluoswch 4 â \frac{-3y+9}{4}.

$$-3y+9-5\left(-y+2\right)=-3$$

Lluoswch -5 â -y+2.

$$-3y+9+5y-10=-3$$

Adio -3y at 5y.

$$2y+9-10=-3$$

Adio 9 at -10.

$$2y-1=-3$$

Adio 1 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2y=-2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am y yn x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}$$

Lluoswch -\frac{3}{4} â -1.

$$x=\frac{3+1}{4}$$

Adio \frac{1}{4} at \frac{3}{4} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Symleiddio'r hafaliad cyntaf i'w roi yn y ffurf safonol.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

Lluoswch 2 â 2x-3.

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

Lluoswch 3 â y+4.

$$4x-6+3y+12=7$$

Adio -6 at 12.

$$4x+3y+6=7$$

Tynnu 6 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x+3y=1$$

Symleiddio'r ail hafaliad i’w roi yn y ffurf safonol.

$$4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Lluoswch 4 â x+2.

$$4x+8-5\left(-y+2\right)=-3$$

Lluoswch -5 â -y+2.

$$4x+8+5y-10=-3$$

Adio 8 at -10.

$$4x+5y-2=-3$$

Adio 2 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x+5y=-1$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{4\times 5-3\times 4}&\frac{4}{4\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}-\frac{3}{8}\left(-1\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=-1$$